mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 14, 2013 3:10 pm**

Έστω συνάρτηση $f:[0,2]\rightarrow R$ παραγωγίσιμη και κυρτή.Να δειχθεί $\int_{0}^{2}{f(x)dx}>2f(1)$ .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 14, 2013 3:16 pm**

bboybast έγραψε:Έστω συνάρτηση $f:[0,2]\rightarrow R$ παραγωγίσιμη και κυρτή.Να δειχθεί $\int_{0}^{2}{f(x)dx}>2f(1)$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 14, 2013 3:18 pm**

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 14, 2013 3:24 pm**

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 14, 2013 3:44 pm**

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 14, 2013 3:50 pm**

Έστω $\displaystyle F(x)=\int_0^xf(t)\:dt-xf\left(\frac{x}{2}\right) \; , \; x\in [0,2] .$

Η

είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [0,2]

και για κάθε $x\in (0,2)$ είναι:

$F'(x)=f(x)-f\left(\dfrac{x}{2}\right)-\dfrac{1}{2}xf'\left(\dfrac{x}{2}\right)$

Από το θεώρημα μέσης τιμής υπάρχει $\xi_x\in\left(\dfrac{x}{2},x\right)$ ώστε $f(x)-f\left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{1}{2}xf'(\xi_x) .$

Άρα $F'(x)=\dfrac{1}{2}xf(\xi_x)-\dfrac{1}{2}xf'\left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{1}{2}x\left[f'(\xi_x)-f'\left(\dfrac{x}{2}\right)\right]>0$ αφού x>0

και $f'(\xi_x)>f'\left(\dfrac{x}{2}\right)$ επειδή η

είναι κυρτή.

Άρα η

είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [0,2] .

Επομένως $\displaystyle F(2)>F(0) \Rightarrow \int_0^2f(t)\:dt-2f(1) >0 \Rightarrow \int_0^2f(x)\:dx>2f(1) .$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 14, 2013 3:51 pm**

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 14, 2013 4:19 pm**

Το συμπέρασμα της άσκησης (και γενικότερα η ανισότητα Hermite–Hadamard που αναφέρει ο Χρήστος) έχουν μια πολύ όμορφη γεωμετρική ερμηνεία στην περίπτωση που $f(x)\geq 0$ .

: ask102.png (5.57 KiB) Προβλήθηκε 778 φορές

Στο παραπάνω σχήμα η

είναι εφαπτόμενη της C_f

στο

.

Η

είναι διάμεσος στο τραπέζιο OBCD

. Το εμβαδόν του τραπεζίου είναι ίσο με $E=\dfrac{(BC+OD)\cdot OB}{2}=\dfrac{4MN}{2}=2f(1)$ .

Το εμβαδόν αυτό , αφού η

είναι κυρτή , είναι μικρότερο από το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από $C_f\;,\;x'x\;,\;x=0\;,\;x=2$ .

Άρα $\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)dx>2f(1)$ .

Με παρόμοια λογική είναι $\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)dx<(ZEBO)=\dfrac{(OZ+BE)\cdot OB}{2}=f(0)+f(2)$ .

mathematica.gr

ολοκλήρωμα-ανισότητα

ολοκλήρωμα-ανισότητα

Re: ολοκλήρωμα-ανισότητα

Re: ολοκλήρωμα-ανισότητα

Re: ολοκλήρωμα-ανισότητα

Re: ολοκλήρωμα-ανισότητα

Re: ολοκλήρωμα-ανισότητα

Re: ολοκλήρωμα-ανισότητα

Re: ολοκλήρωμα-ανισότητα