Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

KARKAR · #61

: μεταξύ.png (27.22 KiB) Προβλήθηκε 3599 φορές

Και το σχήμα της 21

#62

Rempeskes έγραψε: Ασκηση 21
.......................
Έστω $A\left(1,f(1) \right) ,B\left(e,f(e) \right)$

Τότε, η $\displaystyle{AB:\psi -1=\frac{f(e)-f(1)}{e-1}(x-1) \Rightarrow \psi =\frac{2-e}{(e-1)^2}(x-1)+1}$

Στο $\left[1,e \right]$ ισχύει ότι ,

$\displaystyle{\psi \geq f(x) \Rightarrow \int_{1}^{e}\psi dx >\int_{1}^{e}f(x)dx \Rightarrow \int_{1}^{e}f(x)dx <\frac{e}{2} \tau \mu}$

.

Δεχόμαστε χωρίς απόδειξη το $\displaystyle{y \ge f(x)}$ ;

Tolaso J Kos · #63

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 20 ΕΜΕ 2012

Εστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: R \rightarrow R$ με συνεχή παράγωγο, που ικανοποιεί τις σχέσεις :

• $(f'(x))^{2}-2f'(x)+ \frac{1}{x^{2}+1}=0$ , για κάθε $x \in R$ (1)

• (2)

• (3)

Α) Να αποδείξετε ότι $f(x)=x+ \sqrt{x^{2}+1}$ , $x \in R$

Β) Να αποδείξετε ότι για κάθε $x \in R$

Γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα

Δ) Αν , $x \in R$ , τότε :

... i) Να αποδείξετε ότι $h'(x)= \frac{1}{ \sqrt{x^{2}+1}}$ , $x \in R$

... ii) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη $C_{f}$ , τον άξονα και τις ευθείες με εξισώσεις και

... iii) Να αποδείξετε ότι $h(x) > \frac{f(x)-x-1}{x}$ , για κάθε $x \in (0,+ \infty)$

Είχα ξεχάσει ότι η ΕΜΕ έχει πολύ ωραίες ασκήσεις. Για να δούμε:

Α) Η δοσμένη σχέση δίδει:

$\begin{aligned} \left ( f'(x) \right )^2-2f'(x)+ \frac{1}{x^2+1}=0 &\Leftrightarrow \left ( f'(x) \right )^2-2f'(x)+1 = 1- \frac{1}{x^2+1} \\ &\Leftrightarrow \left ( f'(x)-1 \right )^2 = \frac{1}{x^2+1} \\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\overset{g(x)=f'(x)-1}{\Leftarrow \!=\! =\! =\! =\! =\! \Rightarrow} g^2(x)= \frac{1}{x^2+1} \end{aligned}$

Τώρα, παρατηρούμε ότι στο $(-\infty, 0)$ ισχύει $1-\frac{1}{x^2+1}=\frac{x^2}{1+x^2}>0$ συνεπώς g^2(x) >0

και άρα $g(x) \neq 0$ . Οπότε η

ως συνεχής, θα διατηρεί και πρόσημο. Για x=-1

έχουμε ότι g(-1)<0

από τη σχέση (2)

. Οπότε:

$\displaystyle{f'(x)=1+ \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}, \; x \in (-\infty, 0)}$

Παρόμοια, βγάζουμε και τη σχέση $\displaystyle{f'(x)=1+ \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}, \; x \in (0, +\infty)}$ . Για x=0

από τη σχέση (1)

έχουμε

. Οπότε:

$\displaystyle{\begin{aligned} f'(x)=1+ \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} &\Leftrightarrow f'(x)= 1 + \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} \\ &\Rightarrow \left ( f(x) \right )' = \left ( x + \sqrt{x^2+1} \right )' \\ &\Rightarrow f(x)= x+\sqrt{x^2+1}+c \\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\overset{x=0 \Rightarrow c=0}{=\!=\!=\!=\!=\! \Rightarrow} f(x)=x+\sqrt{x^2+1}, \; x \in \mathbb{R} \end{aligned}}$

Β) Είναι διαδοχικά:

$\displaystyle{f(x)=x+\sqrt{x^2+1} > x +\sqrt{x^2} = x+|x|\geq 0}$

και το ζητούμενο έπεται.

Γ) Η

είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο $\displaystyle{f'(x)=1 +\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}= \frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}= \frac{f(x)}{\sqrt{x^2+1}} >0,\; \forall x \in \mathbb{R}}$ συνεπώς είναι γνήσια αύξουσα. Ναι, αλλά και η

είναι ξανά παραγωγίσιμη με παράγωγο:

$\displaystyle{f''(x)= \frac{1}{\left ( x^2+1 \right )\sqrt{x^2+1}}>0}$

Συνεπώς η

είναι κυρτή.

Δ.

α) Η συνάρτηση

έχει τύπο $h(x)=\ln \left( x +\sqrt{x^2+1} \right)$ . Είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο: $\displaystyle{h'(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ (απλές πραξούλες).

Σημείωση: Από το ερώτημα Γ) έχουμε ότι
$\displaystyle{f'(x)= \frac{f(x)}{\sqrt{x^2+1}} \overset{f(x)>0}{\Leftarrow \! =\! =\! \Rightarrow }\frac{f'(x)}{f(x)}= \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \Leftrightarrow \left ( \ln f(x) \right )' = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \Leftrightarrow \left ( h(x) \right )' = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}}$

Είναι ένας άλλος τρόπος για να βγει η παράγωγος.

β) Εφόσον η

είναι θετική για το εμβαδόν έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} {\rm E}\left ( \Omega \right ) &= \int_{0}^{1}f(x)\, {\rm d}x\\ &= \int_{0}^{1}\left ( x+ \sqrt{x^2+1} \right )\, {\rm d}x\\ &=\frac{1}{2}+ \int_{0}^{1}\sqrt{x^2+1} \, {\rm d}x \\ &= \frac{1}{2}+ \left [ x \sqrt{x^2+1} \right ]_0^1 - \int_{0}^{1}\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}\, {\rm d}x\\ &= \frac{1}{2}+ \sqrt{2} - \int_{0}^{1}\frac{x^2+1-1}{\sqrt{x^2+1}}\, {\rm d}x\\ &= \frac{1}{2} + \sqrt{2} - \int_{0}^{1}\frac{x^2+1}{\sqrt{x^2+1}}\, {\rm d}x + \int_{0}^{1}\frac{{\rm d}x}{\sqrt{x^2+1}} \\ &= \frac{1}{2} + \sqrt{2} - \int_{0}^{1}\frac{x^2+1}{\sqrt{x^2+1}} \, {\rm d}x + \left [ \ln \left ( x+\sqrt{x^2+1} \right ) \right ]_0^1 \\ &=\frac{1}{2} + \sqrt{2} - \int_{0}^{1}\frac{x^2+1}{\sqrt{x^2+1}} \, {\rm d}x + \ln \left(1 +\sqrt{2} \right) \\ &=\frac{1}{2}+ \sqrt{2} - \int_{0}^{1}\sqrt{x^2+1}\, {\rm d}x + \ln \left ( 1+\sqrt{2} \right ) \end{aligned}}$

Οπότε αν $\mathcal{J}$ δηλώνει το ολοκλήρωμα $\int_0^1 \sqrt{x^2+1}\, {\rm d}x$ από τη παραπάνω διαδικασία είδαμε ότι:

$\displaystyle{\mathcal{J}= \sqrt{2} - \mathcal{J} + \ln (1+\sqrt{2})\Leftrightarrow \mathcal{J}= \frac{\sqrt{2}+ \ln \left ( 1+\sqrt{2} \right )}{2}}$

Τελικά το ζητούμενο εμβαδόν ισούται με ${\rm E}(\Omega)=\displaystyle{\frac{1+\sqrt{2}+ \ln \left ( 1+\sqrt{2} \right )}{2}}$ .

γ) Έστω

η συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=xh(x)- f(x)+x+1, \; x \geq 0}$ . Παρατηρούμε ότι η

είναι παραγωγίσιμη και η παράγωγός της δεν είναι καμία άλλη συνάρτηση παρά η

. Όπως είδαμε η

είναι γνήσια αύξουσα αφού h'(x)>0

. Όμως για x>0

είναι $h(x)>h(0) \Rightarrow h(x)>0$ . Οπότε η

είναι γνήσια αύξουσα στο $[0, +\infty)$ . Άρα στο $[0, +\infty)$ είναι g(x) > g(0)=0

και το συμπέρασμα έπεται.

dennys · #64

ΑΣΚΗΣΗ 9

1) Το όριο γίνεται $\lim_{h\to 0}\cfrac{f(x+h)-f(x)+(h-1)f(x)}{sinh}= \lim_{h\to 0}(\cfrac{h}{sinh})(\cfrac{f(x+h)-f(x)}{h}+f(x))$

$(f'(x)+f(x))=(2x-3)e^{x}+e^{-x}\Rightarrow e^{x}(f'(x)+f(x))=(2x-3)e^{x}+1$ , σχέση (1)

2)απο το (1) $(e^{x}f(x))'=[(2x-3)\cfrac{e^{2x}}{2}-\cfrac{e^{2x}}{2}+2+x]'$

απο συνέπειες η ζητουμένη

3) $f'(x)=(x-1)e^{x}-(x+1)e^{-x}, f'(0)=0$ kai

$f''(x)=x(e^{x}+e^{-x}),f''(x)>0 if x>0,f''(x)<0, if x<0$ αρα είναι

κοίλη για χ<0 και κυρτ'η για χ>0 με σημείο καμπής στο 0.

Τ΄ωρα η

, γνησίως φθίνουσα για χ<0 και γνησίως αύξουσα για χ>0, με ελάχιστο

στο ο με τιμή, $f(0)=-2<0, \lim_{x\to +\infty }=+\infty, \lim_{x\to -\infty }=+\infty$

συνεπώς απο το πεδίο τιμών της f' έχει μοναδικές ρίζες x_1<0,x_2>0

4)Τώρα επειδή η συνάρτηση είναι

είναι περιττη f'(-x_1)=-f'(x_1)=0

αρα $-x_1=x_2\Rightarrow x_1+x_2=0$

φιλικά dennys

nickos_m · #65

Tolaso J Kos έγραψε:Άσκηση 19

Δίδεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ η οποία είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ και $f(x) \neq 0, \;\; \forall x \in \mathbb{R}$ . Αν ισχύει ότι και καθώς επίσης και η σχέση

$\displaystyle{\frac{f\left ( f(x) \right )}{f\left ( f(x)+2 \right )}= \frac{f\left ( f(x)+3 \right )}{f\left ( f(x)+1 \right )} , \;\; \forall x \in \mathbb{R}}$

τότε

Να δείξετε ότι .

Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα $\rho \in [2, 3]$ τέτοιο ώστε $f^2(\rho)=f(2)f(3)$ .

Να δείξετε ότι η δεν είναι .

Αν η γνησίως αύξουσα στο και $x_1, \; x_2 \in [2008, 2009]$ τότε να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $x_0 \in [2008, 2009]$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{3f(x_0)=f(x_1)+2f(x_2)}$ .

Έστω η συνάρτηση g(x)=f(x)-2

η οποία είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων.
Η g(x)

συνεχής στο $[2008,2009]\subseteq R$ και ισχύει g(2008)g(2009)<0

.
Τότε σύμφωνα από Θεώρημα Bolzano

θα υπάρχει ένα τουλάχιστον $x_{0}\in (2008,2009) : g(x_{0})=0\Leftrightarrow f(x_{0})=2$ .
Όπου

το $x_{0}$ στην δοθείσα σχέση και προκύπτει το ζητούμενο.

ii)

Έστω η συνάρτηση $h(x)=f^{2}(x)-f(2)f(3)$ η οποία είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων.
Η h(x)

συνεχής στο [2,3]

με $h(2)h(3)=-f(2)f(3)[f(2)-f(3)]^{2}\leq 0$ αφού η

συνεχής, διάφορη από το μηδέν, άρα διατηρεί πρόσημο και αφού f(2008)>0

, τότε

.
Αν $h(2)h(3)=0\Leftrightarrow f(3)=f(2)$ τότε το $\rho = 2$ ή $\rho = 3$ .
Αν h(2)h(3)<0

τότε από Θ.Β. θα υπάρχει ένα $\rho \in (2,3): h(\rho)=0 \Leftrightarrow f^{2}(\rho )=f(2)f(3)$ .
Άρα σε κάθε περίπτωση θα υπάρχει ένα $\rho \in [2,3]$ τέτοιο ώστε $f^{2}(\rho )=f(2)f(3)$ .

iii)

Έστω η συνάρτηση $\varphi (x)=f^{2}(x)-f(4)f(5)$ .Αποδεικνύεται ομοίως ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi \in [4,5]$ τέτοιο ώστε $f^{2}(\xi )=f(4)f(5)$ .
$f(2)f(3)=f(4)f(5)\Leftrightarrow f^{2}(\rho )=f^{2}(\xi )\Leftrightarrow f(\rho )=f(\xi )$ αφού f(x)>0

.Δηλαδή είναι $\rho \neq \xi \Rightarrow f(\rho )=f(\xi )$ . Άρα η

δεν είναι

,

Είναι $2008<x_{1}<2009\Leftrightarrow f(2008)<f(x_{1})<f(2009)\Leftrightarrow 1<f(x_{1})<10$ , όμοια $2<2f(x_{2})<20$ .
Με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει : $3<f(x_{1})+2f(x_{2})<30$ .
Έστω τώρα η συνάρτηση $P(x)=3f(x)-f(x_{1})-2f(x_{2})$ , η οποία ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano

.
Άρα θα υπάρχει ένα $x_{3}\in (2008,2009)$ (έχω βρει $x_{0}$ νωρίτερα) τέτοιο ώστε $P(x)=0\Leftrightarrow 3f(x_{3})=f(x_{1})+2f(x_{2})$ και επειδή η

είναι γνησίως αύξουσα τότε θα είναι και μοναδικό.

Λάμπρος Μπαλός · #66

Από Εκδόσεις Κανδύλας, μία άσκηση από τα Διαγωνίσματα εφ' όλης της ύλης που μου άρεσε

ΑΣΚΗΣΗ 22 (Τηλέγραφος-Παντούλας)

Δίνονται οι συναρτήσεις f,g

με $f:(-1,1) \rightarrow R$ , $g:R \rightarrow R$ .
Αν f(0)=0

, η

παρουσιάζει ολικό ακρότατο μόνο στη θέση x=1

το

και ισχύει

$g((1-x^{2})f'(x))=1$ για κάθε $x \in (-1,1)$ , τότε :

α) να δείξετε ότι $f(x)= \frac{1}{2}ln \frac{1+x}{1-x}$ , για κάθε $x \in (-1,1)$

β) να δείξετε ότι :

i) η

είναι περιττή

ii) η

έχει ένα σημείο καμπής το οποίο και να βρεθεί

iii) οι ευθείες x=1

και

είναι ασύμπτωτες της $C_{f}$

γ) να βρείτε τα $c,d \in R$ ώστε $f(c^{2}+d^{2})+f(c-d+ \frac{1}{2})=0$

δ) να δείξετε ότι το εμβαδόν που σχηματίζεται από τη γραφική παράσταση της

, τον άξονα x'x

και τις κατακόρυφες ευθείες x=-a

,

, όπου $a \in (0,1)$ , είναι ίσο με :

(1+a)ln(1+a)+(1-a)ln(1-a)

nickos_m · #67

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 20 ΕΜΕ 2012

Εστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: R \rightarrow R$ με συνεχή παράγωγο, που ικανοποιεί τις σχέσεις :

• $(f'(x))^{2}-2f'(x)+ \frac{1}{x^{2}+1}=0$ , για κάθε $x \in R$ (1)

• (2)

• (3)

Α) Να αποδείξετε ότι $f(x)=x+ \sqrt{x^{2}+1}$ , $x \in R$

Β) Να αποδείξετε ότι για κάθε $x \in R$

Γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα

Δ) Αν , $x \in R$ , τότε :

... i) Να αποδείξετε ότι $h'(x)= \frac{1}{ \sqrt{x^{2}+1}}$ , $x \in R$

... ii) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη $C_{f}$ , τον άξονα και τις ευθείες με εξισώσεις και

... iii) Να αποδείξετε ότι $h(x) > \frac{f(x)-x-1}{x}$ , για κάθε $x \in (0,+ \infty)$

Καλημέρα!
A) $(f'(x))^{2}-2f'(x)+ \frac{1}{x^{2}+1}=0\Leftrightarrow (f'(x))^{2}-2f'(x)+1=-\frac{1}{x^{2}+1}+1\Leftrightarrow (f'(x)-1)^{2}=\frac{x^{2}}{x^{2}+1}$

Η f'(x)-1

είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων και $\neq 0$ στο $(-\propto , 0)$ .
Άρα θα διατηρεί πρόσημο και αφού $f'(-1)<1\Leftrightarrow f'(-1)-1<0$ τότε θα είναι
$f'(x)-1=-\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}+1}}\Leftrightarrow f'(x)-1=-\frac{|x|}{\sqrt{x^{2}+1}}\Leftrightarrow f'(x)-1=- \frac{-x}{\sqrt{x^{2}+1}}\Leftrightarrow f'(x)=1 + \frac{x}{x^{2}+1}\Leftrightarrow f'(x)=1 + \frac{2x}{2\sqrt{x^{2}+1}}$

Όμοια αποδεικνύεται ότι $\forall x\in (0,+\propto )$ είναι $f'(x)=1 + \frac{2x}{2\sqrt{x^{2}+1}}$

Άρα $f(x)=\begin{cases} x + \sqrt{x^{2}+1}+c_{1} ,& \text{ if } x<0 \\ 1 , & \text{ if } x=0 \\ x + \sqrt{x^{2}+1}+c_{2},& \text{ if } x>0 \end{cases}$

Η

είναι συνεχής στο

ως παραγωγίσιμη άρα θα είναι συνεχής και στο $x_{0}=0$ .
Επομένως $\lim_{x_\rightarrow 0^{-}}f(x)=\lim_{x_\rightarrow 0^{+}}f(x)=f(0)\Leftrightarrow c_{1}=c_{2}=0$

Έχουμε τελικά $f(x)=x+\sqrt{x^{2}+1} , x\in R$

Β) Είναι $x+\sqrt{x^{2}+1}>x+\sqrt{x^{2}}=x+|x|\geq 0\Leftrightarrow x+\sqrt{x^{2}+1}>0\Leftrightarrow f(x)>0$

Γ) Έχουμε $f'(x)=1+\frac{x}{x^{2}+1}=\frac{\sqrt{x^{2}+1}+x}{\sqrt{x^{2}+1}}>0$ ,

γνησίως αύξουσα στο

.
$f''(x)=\frac{1}{(x^{2}+1)(\sqrt{x^{2}+1}}>0$ , η

γν.αύξουσα $\rightarrow$ η

κυρτή στο

.

Δ)

$h'(x)=\frac{1}{x+\sqrt{x^{2}+1}}\bullet (1+\frac{2x}{2\sqrt{x^{2}+1}})=\frac{\frac{\sqrt{x^{2}+1}+x}{\sqrt{x^{2}+1}}}{\sqrt{x^{2}+1}+x}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}$

ii)

Για κάθε $x\in [0,1]$ είναι $f(x)\geq 0$ και συνεχής.

Άρα $E=\int_{0}^{1}{f(x)dx}= \int_{0}^{1}{x+\sqrt{x^{2}+1}dx}=\int_{0}^{1}{xdx}+\int_{0}^{1}{\sqrt{x^{2}+1}} (1)$
Θέτω $u=\epsilon \varphi x$ τότε $I=\int_{0}^{1}{\sqrt{x^{2}+1}dx}=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{1}{cos^{3}u}du}=[\frac{\epsilon \varphi x}{cosx}]_{0}^{\frac{\pi }{4}}-\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{1}{cos^{3}x}dx}+\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{1}{cosx}dx}\Leftrightarrow 2I=2+\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{1}{cosx}dx}$

Όμως $\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{1}{cosx}}=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{cosx}{1-sin^{2}x}dx}=\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{1-t^{2}}δτ}=\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2(1-t)}dt}+\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2(1+t)}dt}= . . .$ Έθεσα t=sinx

Βρίσκουμε το

και συνεπώς και το

(θα τα έβρισκα αλλά έχω και διάβασμα).

iii)

Θεωρώ την συνάρτηση $P(x)=xh(x)-f(x)+x+1,D_{p}=[0,+\propto )$
$P'(x)=ln(x+\sqrt{x^{2}+1})$
$P''(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}>0$ η

γν αύξουσα
$0\leq x\Leftrightarrow P'(0)\leq P'(x) \Leftrightarrow 0\leq P'(x)$
Είναι $P'(x)>0 \forall x\in (0,+\propto )$ και η

συνεχής στο $[0,+\propto )$
Άρα η P(x)

γν.αύξουσα στο $[0,+\propto )$ .
$0<x\Leftrightarrow P(0)<P(x)\Leftrightarrow 0<P(x)\Leftrightarrow h(x) > \frac{f(x)-x-1}{x}$

Ελπίζω να μην έκανα κάποιο λάθος.

nickos_m · #68

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Από Εκδόσεις Κανδύλας, μία άσκηση από τα Διαγωνίσματα εφ' όλης της ύλης που μου άρεσε

ΑΣΚΗΣΗ 22 (Τηλέγραφος-Παντούλας)

Δίνονται οι συναρτήσεις με $f:(-1,1) \rightarrow R$ , $g:R \rightarrow R$ .
Αν , η παρουσιάζει ολικό ακρότατο μόνο στη θέση το και ισχύει

$g((1-x^{2})f'(x))=1$ για κάθε $x \in (-1,1)$ , τότε :

α) να δείξετε ότι $f(x)= \frac{1}{2}ln \frac{1+x}{1-x}$ , για κάθε $x \in (-1,1)$

β) να δείξετε ότι :

i) η είναι περιττή

ii) η έχει ένα σημείο καμπής το οποίο και να βρεθεί

iii) οι ευθείες και είναι ασύμπτωτες της $C_{f}$

γ) να βρείτε τα $c,d \in R$ ώστε $f(c^{2}+d^{2})+f(c-d+ \frac{1}{2})=0$

δ) να δείξετε ότι το εμβαδόν που σχηματίζεται από τη γραφική παράσταση της , τον άξονα και τις κατακόρυφες ευθείες , , όπου $a \in (0,1)$ , είναι ίσο με :

α) Η

παρουσιάζει ολικό ακρότατο στη θέση x=1

το

,άρα υπάρχει μοναδική τιμή της

για την οποία ισχύει g(x)=1

και αυτή είναι το $x_{0}=1$ .
Συνεπώς είναι $(1-x^{2})f'(x)=1$
$-1<x<1\Rightarrow x^{2}<1$
Επομένως μπορούμε να διαιρέσουμε.
$(1-x^{2})f'(x)=1\Leftrightarrow f'(x)=\frac{1}{1-x^{2}}\Leftrightarrow f'(x)=\frac{1}{2(1+x)} + \frac{1}{2(1-x)}$
$f(x)=\frac{1}{2}(ln(1+x)-ln(1-x)) + c$
Για x=0

$\rightarrow$ c=0

Άρα $f(x)=\frac{1}{2}(ln(1+x)-ln(1-x)) \Leftrightarrow f(x)=\frac{1}{2}ln\frac{1+x}{1-x} , x\in (-1,1)$

β)

$\forall x\in (-1,1)$ ισχύει και $-x\in (-1,1)$
Όπου

το

και έχουμε:

$f(-x)=\frac{1}{2}ln\frac{1+(-x)}{1-(-x)}=\frac{1}{2}ln\frac{1-x}{1+x}=\frac{1}{2}ln(\frac{1+x}{1-x})^{-1}=-\frac{1}{2}ln\frac{1+x}{1-x}=-f(x)$
Άρα η

είναι περιττή.

ii)

Από $(\alpha )$ ερώτημα έχουμε $f'(x)=\frac{1}{1-x^{2}}$ .Παραγωγίζουμε και παίρνουμε : $f''(x)=\frac{2x}{(1-x^{2})^{2}}$
$f''(x)<0\Leftrightarrow x<0$ , $f''(x)>0\Leftrightarrow x>0$
Η f''

αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του

και είναι

. Άρα η

έχει ένα Σ.Κ. στο x=0

το

$\lim_{x_\rightarrow -1^{+}}f(x)=-\propto ,$ $\lim_{x_\rightarrow 1^{-}}f(x)=+\propto$
Άρα οι ευθείες x=-1, x=1

είναι κατακόρυφες ασύμπτωτες της $C_{f}$ .

γ) $f(c^{2}+d^{2})+f(c-d+\frac{1}{2})=0\Leftrightarrow f(c^{2}+d^{2})=-f(c-d+\frac{1}{2})\Leftrightarrow f(c^{2}+d^{2})=f(-(c-d+\frac{1}{2}))$
Η

είναι γνησίως αύξουσα, άρα και 1-1

.Τότε $f(c^{2}+d^{2})=f(-(c-d+\frac{1}{2})) \Leftrightarrow c^{2}+d^{2}=-c+d-\frac{1}{2} \Leftrightarrow c^{2}+c+\frac{1}{4}=-d^{2}+d-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\Leftrightarrow (c+\frac{1}{2})^{2}=-(d-\frac{1}{2})^{2}$

Για να ισχύει αυτό πρέπει: $c+\frac{1}{2}=0$ και $d-\frac{1}{2}=0$ , δηλαδή $c=-\frac{1}{2} , d=\frac{1}{2}$

δ)Η

είναι περιττή, τότε λόγω συμμετρίας το ζητούμενο εμβαδόν θα είναι ίσο με: $E=2\int_{0}^{a}{f(x)dx}=2\int_{0}^{a}{\frac{1}{2}ln\frac{1+x}{1-x}dx}=\int_{0}^{a}{ln(1+x)-ln(1-x)dx}=\int_{0}^{a}{(x+1)'ln(x+1)dx}+\int_{0}^{a}{(1-x)'ln(1-x)dx}=...=(1+a)ln(1+a)+(1-a)ln(1-a)$

nickos_m · #69

Christos.N έγραψε:Άσκηση 18

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:\left( {0, + \infty } \right) \to R}$ με $\displaystyle{f\left( 1 \right) = 0}$ για την οποία ισχύει $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{h \to 1} \frac{{f\left( {\frac{x}{h}} \right) - f\left( x \right)}}{{h - 1}} = \frac{1}{x} + x - 2}$ .

1) Να δείξετε ότι $\displaystyle{f\left( x \right) = 2\ln x - x + \frac{1}{x},x>0}$

2) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της.

3) Αν $\displaystyle{0 < a < b}$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\ln a - \ln b > \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{2ab}}}$ .

4) ΝΑ δείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle{f\left( x \right) + f\left( {{x^2}} \right) = f\left( {{x^5}} \right) + f\left( {{x^{10}}} \right)}$ έχει μοναδική ρίζα στο $\displaystyle{\left( {0, + \infty } \right)}$ .

Μαθηματικά Γ' τάξης Γενικού Λυκείου , Εκδόσεις Κανδύλας

α) Ικανοποιούνται οι προϋποθέσει L'Hospital: $lim_{h\rightarrow 1}\frac{f(\frac{x}{h})-f(x)}{h-1}=lim_{h\rightarrow 1}\frac{f'(\frac{x}{h})(-\frac{x}{h^{2}}-0}){1}=-xf'(x)$
Άρα $-xf'(x)=\frac{1}{x}+x-2\Leftrightarrow f'(x)=-\frac{1}{x^{2}}-1+\frac{2}{x}$
Επομένως $f(x)=2lnx-x+\frac{1}{x}+c$
Για x=1

$\rightarrow$ c=0

Συνεπώς $f(x)=2lnx-x+\frac{1}{x} , x>0$

β) $f'(x)=\frac{2}{x}-1-\frac{1}{x^{2}}=\frac{2x-x^{2}-1}{x^{2}}=-\frac{(x-1)^{2}}{x^{2}}<0 \forall x\in (0,1)\bigcup{}(1,+\propto)$
και αφού η

συνεχής στο x=1

τότε η

γν.φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της.
Άρα $f(D_{f})=(lim_{x\rightarrow +\propto}f(x),lim_{x\rightarrow 0^{+})}=(-\propto,+\propto)$ γιατί: $lim_{x\rightarrow 0^{+}f(x)=lim_{x\rightarrow 0^{+}\frac{2xlnx-x^{2}+1}{x}}=+\propto$ αφού $lim_{x\rightarrow 0^{+}}2xlnx =lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{2lnx}{\frac{1}{x}}=0$
$lim_{x\rightarrow \propto}f(x)=lim_{x\rightarrow \propto}x(\frac{2lnx}{x}-1+\frac{1}{x}^{2})=-\propto$

γ) $a<b\Leftrightarrow f(a)>f(b)\Leftrightarrow ...$ και έπεται το ζητούμενο.

δ)Έστω η συνάρτηση $g(x)=f(x)+f(x^{2})-f(x^{5})-f(x^{10}) , D_{g}=(0,+\propto)$
Προφανής ρίζα το x=1

.Χτίζοντας την από $x_{1}\neq x_{2}$ καταλήγουμε μετά από αρκετές σειρές σε $g(x_{1}) \neq g(x_{2})$ .
Άρα η g 1-1

και το

ρίζα της άρα και μοναδική.
Δηλαδή η εξίσωση $f(x)+f(x^{2})=f(x^{5})+f(x^{10})$ έχει μοναδική ρίζα στο $(0,+\propto)$ και μάλιστα την x=1

.
Σίγουρα πρέπει να υπάρχει και άλλος τρόπος για το (δ), τον οποίο δεν τον βλέπω αυτή τη στιγμή.

M.S.Vovos · #70

ΑΣΚΗΣΗ 23

Έστω η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , για την οποία ισχύει $\displaystyle f^{3}(x)+f(x)=x^{3}$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

A. Να υπολογίσετε το $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{f(x)-f(0)}{x}$ .

B. Να δείξετε ότι η είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ .

Γ. Να δείξετε ότι η είναι περιττή στο $\mathbb{R}$ .

Δ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και το σύνολο τιμών της.

Φιλικά,
Μάριος

Rempeskes · #71

M.S.Vovos έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 23

Έστω η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , για την οποία ισχύει $\displaystyle f^{3}(x)+f(x)=x^{3}$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

A. Να υπολογίσετε το $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{f(x)-f(0)}{x}$ .

B. Να δείξετε ότι η είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ .

Γ. Να δείξετε ότι η είναι περιττή στο $\mathbb{R}$ .

Δ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και το σύνολο τιμών της.

Φιλικά,
Μάριος

Αυτή η άσκηση είναι εκτός πνεύματος εξετάσεων (ο σκοπός του παρόντος θρέντ).

Εν τούτοις, από μαθηματικής σκοπιάς φαίνεται όμορφη άρα ας δώσουμε μια λύση.

Α)
Για

στην δοθείσα παίρνουμε $f(0)\left(f^2(0)+1 \right)=0\Rightarrow f(0)=0$

Συνεπώς, $\displaystyle{\frac{f(x)-f(0)}{x}=\frac{f(x)}{x}}$ .

Επίσης,

$\displaystyle{x\rightarrow +\infty\Rightarrow f(x)(f^2(x)+1)=x^3>0 \Rightarrow f(x)>0}$

$\displaystyle{x^3 =f^3(x)+f(x)<f^3(x)+3f^2(x)+3f(x)+1=\left(f(x)+1 \right)^3 \Rightarrow f(x)>x-1}$

$\displaystyle{\Rightarrow 0<\frac{1}{f(x)}<\frac{1}{x-1} }$

Με χρήση του κριτηρίου παρεμβολής εύκολα δείχνουμε ότι $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{f(x)}=0 }$

Και εφόσον $\displaystyle{\left(\frac{1}{f(x)} \right)>0}$ ,

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{\frac{1}{f(x)}}=+\infty \Rightarrow \boxed{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty}}$

Ισχύει ότι $\displaystyle{\frac{f(x)}{x^3}=\frac{1}{f^2(x)+1} \Rightarrow \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{x^3}=0}$

Επομένως, $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\sqrt[3]{1-\frac{f(x)}{x^3}}=\sqrt[3]{\lim_{x\rightarrow +\infty}\left( 1-\frac{f(x)}{x^3}\right)}=1}$

Β)

Έστω τυχαίο $x_o \in \mathbb{R}$

Τότε, $\displaystyle{f^3(x_o)+f(x_o)=x_o^3}$

Την αφαιρώ από από την αρχική και έχω:

$\displaystyle{\left(f(x)-f(x_o) \right)\left(\left(f(x)+\frac{f(x_o)}{2} \right)^2 +3\frac{f^2(x_o)}{4} \right)=(x-x_o)(x^2 +xx_o+x_o^2)}$

Παίρνοντας όρια, έχω:

$\displaystyle{\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_o}\left[ \left(f(x)-f(x_o) \right)\left(\left(f(x)+\frac{f(x_o)}{2} \right)^2 +3\frac{f^2(x_o)}{4} \right)\right]=\lim_{x\rightarrow x_o}\left[ (x-x_o)(x^2 +xx_o+x_o^2)\right]=0}$

$\displaystyle{\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_o}f(x)=f(x_o)}$

Γ)

Θεωρώ συνάρτηση h(x)=x^3 +x

Εύκολα αποδεικνύουμε ότι η

είναι

(Θα το δείξουμε και παρακάτω)

$\forall x \in \mathbb{R}, -x \in \mathbb{R}$ και παρατηρούμε ότι,

$\displaystyle{h(f(-x))=h(-f(x))=-x^3 \Rightarrow \boxed{f(-x)=-f(x)}}$ εφόσον η

είναι

Άλλος ένας τρόπος είναι να θέσουμε όπου $x\rightarrow -x$ στην δοθείσα.Αφαιρώ την σχέση από την δοθείσα και καταλήγω σχετικά εύκολα στο ζητούμενο.

Δ)

Έστω $x_1,x_2 \in \mathbb{R}: x_1>x_2$

$\displaystyle{x_1>x_2\Rightarrow x_1^3>x_2^3\Rightarrow h(f(x_1))>h(f(x_2))\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)}$ διότι

γνησίως αύξουσα.

Άρα

γνησίως αύξουσα.

Έχουμε δείξει παραπάνω ότι $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty}$

Εφόσον η

είναι γνησίως αύξουσα και $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty}$ , δεν μπορεί να ισχύει $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=+\infty}$

Άρα θα ισχύει είτε $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=l\in \mathbb{R}}$ είτε $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty}$ .

Έστω ότι $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=l\in \mathbb{R}}$ .

Τότε, από την δοθείσα:

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(f^3(x)+f(x) \right)=\lim_{x\rightarrow -\infty}x^3}$

$\Rightarrow l^3 + l= -\infty$

ΑΤΟΠΟ.

Άρα $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty}$ .

Οπότε εφόσον η

είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της, θα ισχύει ότι,

$\displaystyle{f(\mathbb{R})=\left( \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x),\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)\right)=\mathbb{R}}$

nickos_m · #72

Καμία καινούργια έχουμε;

dennys · #73

Ικανοποιούνται οι προϋποθέσει L'Hospital: $lim_{h\rightarrow 1}\frac{f(\frac{x}{h})-f(x)}{h-1}=lim_{h\rightarrow 1}\frac{f'(\frac{x}{h})(-\frac{x}{h^{2}}-0}){1}=-xf'(x) Άρα -xf'(x)=\frac{1}{x}+x-2\Leftrightarrow f'(x)=-\frac{1}{x^{2}}-1+\frac{2}{x} Επομένως f(x)=2lnx-x+\frac{1}{x}+c Για x=1 \rightarrow c=0 Συνεπώς f(x)=2lnx-x+\frac{1}{x} , x>0$

Nίκο αυτο που έκανες δεν γίνεται .πρόσεξε λίγο.Στην χρήση του θεωρ'ηματος θέλει προσοχή ...

φιλικά

Λάμπρος Μπαλός · #74

ΑΣΚΗΣΗ 24 (προσωπική πηγή : Μαθηματικά Γ Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατ/σης, Δημήτριος Κατσαρός, Ελληνοεκδοτική)

Θεωρούμε μία συνάρτηση

που έχει πεδίο ορισμού το

όπου και είναι δύο φορές παραγωγίσιμη.

i) Αν υποθέσουμε ότι $lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-e^{2x}+1}{sin2x} =-1$ , να βρείτε τις τιμές f(0)

και

.

ii) Αν υποθέσουμε ότι για τους πραγματικούς a,b,c

, με

, οι

είναι ομόσημοι και ισχύει f(a)+f(c)=f(b)

, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi \in (a,c)$ τέτοιο, ώστε $f'( \xi) =0$

iii) Αν υποθέσουμε ότι για την

ισχύει $f''(x)(x^{2}+1)=2f(x)$ και f'(0)=0

, να αποδείξετε ότι υπάρχει $\xi_{1} \in R$ τέτοιο, ώστε $f(x)= \xi_{1}(x^{2}+1)$ για κάθε $x \in R$ .

KARKAR · #75

Άσκηση 25 ..... Για τη δις παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ ,

ισχύουν : f(x)-f''(x)=2e^x+1 , f(0)=2 ,f'(0)=0

.

α) Δείξτε ότι f(x)=-xe^x+e^x+1

.

β) Δείξτε ότι η

έχει μοναδική ρίζα .

γ) Βρείτε τη μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η κλίση μιας εφαπτομένης της $C_{f}$ .

δ) Αν η

παρουσιάζει μέγιστο για $x_{0}=a$ και σημείο καμπής για $x_{0}=b$ , βρείτε το

εμβαδόν του χωρίου που περικλείουν η $C_{f}$ , ο άξονας x'x

και οι ευθείες x=a,x=b

.

Rempeskes · #76

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 24 (προσωπική πηγή : Μαθηματικά Γ Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατ/σης, Δημήτριος Κατσαρός, Ελληνοεκδοτική)

Θεωρούμε μία συνάρτηση που έχει πεδίο ορισμού το όπου και είναι δύο φορές παραγωγίσιμη.

i) Αν υποθέσουμε ότι $lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-e^{2x}+1}{sin2x} =-1$ , να βρείτε τις τιμές και .

ii) Αν υποθέσουμε ότι για τους πραγματικούς , με , οι είναι ομόσημοι και ισχύει , να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi \in (a,c)$ τέτοιο, ώστε $f'( \xi) =0$

iii) Αν υποθέσουμε ότι για την ισχύει $f''(x)(x^{2}+1)=2f(x)$ και , να αποδείξετε ότι υπάρχει $\xi_{1} \in R$ τέτοιο, ώστε $f(x)= \xi_{1}(x^{2}+1)$ για κάθε $x \in R$ .

Καλησπέρα.

δύο φορές παραγωγίσιμη άρα η f,f'

συνεχείς.

i)

Θεωρώ συνάρτηση $\displaystyle{h(x)=\frac{f(x)-{e}^{2x}+1}{sin2x}}$ .

$\forall x$ κοντά στο

,

$\displaystyle{h(x)sin2x+{e}^{2x}-1=f(x)}$

Άρα $\displaystyle{f(0)=\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0}\left( h(x)sin2x+{e}^{2x}-1\right)=-1\cdot 0+1-1 \Rightarrow \boxed{f(0)=0}}$

$\displaystyle{lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-e^{2x}+1}{sin2x}\mathop =\limits_{DLH}^{\left(\frac{0}{0} \right)} lim_{x \rightarrow 0} \frac{f'(x)-2{e}^{2x}}{2cos2x}=-1}$

Θεωρώ συνάρτηση $\displaystyle{g(x)= \frac{f'(x)-2{e}^{2x}}{2cos2x}}$

Κοντά στο

, $\displaystyle{g(x)(2cos2x)=f'(x)-2{e}^{2x}}$

Οπότε,

$\displaystyle{f'(0)=\lim_{x\rightarrow 0}f'(x)=\lim_{x\rightarrow 0}\left(g(x)(2cos2x)+2{e}^{2x} \right)=-2+2=0\Rightarrow \boxed{f'(0)=0}}$

ii)

f(a),f(c)

ομόσημοι άρα θα ισχύει f(a)f(c)>0

Η

πληροί τις προυποθέσεις του $\Theta MT$ στο [a,b]

και στο

.

Άρα $\diplaystyle{\exists \xi_1 \in (a,b) : f'(\xi_1)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f(c)}{b-a}}$

και $\displaystyle{\exists \xi_2 \in (b,c) : f'(\xi_2)=\frac{f(c)-f(b)}{c-b}=-\frac{f(a)}{c-b}}$

Τώρα, η

πληροί τις προυποθέσεις του θεωρήματος Bolzano

στο $[\xi_1,\xi_2]$

με $\displaystyle{f'(\xi_1) f'(\xi_2)=-\frac{f(c)f(a)}{(c-b)(b-a)}<0}$

Οπότε $\exists \xi \in [\xi_1,\xi_2]: \boxed{f'(\xi)=0}$

iii)

$f''(x)(x^{2}+1)=2f(x)$

$\displaystyle{\Rightarrow f''(x)(x^2 +1)+2xf'(x)=2xf'(x)+2f(x) \Rightarrow \left(f'(x)(x^2 +1) \right)'=\left(f(x)(2x) \right)'\Rightarrow f'(x)(x^2 +1)=f(x)2x+c_1}$

Για $χ=0 \Rightarrow c_1=0$

$\displaystyle{\Rightarrow f'(x)(x^2 +1)-f(x)2x=0 \Rightarrow \frac{f'(x)(x^2 +1)-f(x)2x}{(x^2 +1)^2}=0\Rightarrow \frac{f(x)}{x^2 +1}=\xi_1}$

$\Rightarrow \boxed{f(x)=\xi_1(x^2 +1)}, \forall x \in \mathbb{R}$

Rempeskes · #77

KARKAR έγραψε:Άσκηση 25 ..... Για τη δις παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ ,

ισχύουν : .

α) Δείξτε ότι .

β) Δείξτε ότι η έχει μοναδική ρίζα .

γ) Βρείτε τη μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η κλίση μιας εφαπτομένης της $C_{f}$ .

δ) Αν η παρουσιάζει μέγιστο για $x_{0}=a$ και σημείο καμπής για $x_{0}=b$ , βρείτε το

εμβαδόν του χωρίου που περικλείουν η $C_{f}$ , ο άξονας και οι ευθείες .

Μια αντιμετώπιση,

α)

$\displaystyle{f''(x)-f(x)=-2e^x -1\Rightarrow (f''(x)-f'(x))+(f'(x)-f(x))=-2e^x -1 }$

$\displaystyle{\Rightarrow (f'(x)-f(x))e^x=-{e}^{2x}-e^x +c_1}$

Για $\displaystyle{x=0 \Rightarrow c_1=0 }$

$\displaystyle{ \Rightarrow f'(x)-f(x)=-e^x -1 \Rightarrow f(x){e}^{-x}={e}^{-x}-x+c_2}$

Για $\displaystyle{x=0\Rightarrow c_2=1 \Rightarrow \boxed{f(x)=-xe^x +e^x+1}}$

Κάνουμε και μια επαλήθευση και είμαστε jet.

β)

f'(x)=-xe^x

Οπότε η

γνησίως αύξουσα στο $\left(-\infty,0 \right]$ και γνησίως φθίνουσα στο $\left[0,+\infty\right)$ .

$f( \left[0,+\infty \right))=\left(-\infty,2 \right]$ και $f( \left(-\infty,0 \right])=\left(1,2 \right]$

$0 \notin f( \left(-\infty,0 \right])$

ενώ $0 \in f( \left[0,+\infty \right))$ και

γνησίως μονότονη σε αυτό άρα θα $\exists! \xi \in \left[0,+\infty \right): f(\xi)=0$

Και μάλιστα εφαρμόζοντας το Bolzano

δείχνουμε ότι $\xi \in (1,2)$ .

γ)

Θεωρώ συνάρτηση $\displaystyle{h(x)=f'(x)=-xe^x \Rightarrow h'(x)=-e^x (x+1)}$

Η

γνησίως αύξουσα στο $(-\infty,-1]$ και γνησίως φθίνουσα στο $[-1,+\infty)$

Άρα παρουσιάζει μέγιστο στο x_o=-1

το $\displaystyle{h(-1)=\frac{1}{e}}$ που είναι η ζητούμενη τιμή.

δ)

$\displaystyle{\forall x\in (-\infty,0]: f(x)\in (1,2] \Rightarrow f(x)>0}$

$\displaystyle{\Rightarrow E(\Omega )=\int_{-1}^{0}(-xe^x +e^x +1)dx=\left[-xe^x \right]_{-1}^0 +2\left[e^x \right]_{-1}^0 +\left[x \right]_{-1}^0=3-\frac{3}{e}}$

M.S.Vovos · #78

ΑΣΚΗΣΗ 26

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Θεωρούμε την και τρεις φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , για την οποία ισχύουν:

$\displaystyle \bullet f\left ( 6f(x)-x^{2}f''(x) \right )=\left [ 6f'(x)-2xf''(x)-x^{2}f^{(3)}(x) \right ]\cdot f'\left ( 6f(x)-x^{2}f''(x) \right )$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

$\bullet f(0)=0,f''(1)=6$

A. Να δείξετε ότι $f(x)=x^{3}$ , $x\in \mathbb{R}$ .

B. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη $C_{f}$ και την ευθεία $\left ( \varepsilon \right ):y=4x+k$ , με $\displaystyle k=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-\eta \mu f(x)}{e^{x}-x-1}$ .

Γ. Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης $f(x)=e^{x}$ .

Δ. Έστω τα σημεία , $A\left ( \lambda ,e^{\lambda } \right )$ και $B\left ( 1,\lambda ^{2} \right )$ . Να δείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο $\lambda \in \mathbb{R}$ ώστε τα παραπάνω σημεία να είναι συνευθειακά.

Ε. Να βρείτε τα $\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb{R}$ ώστε $\displaystyle \frac{f(\alpha )}{e^{\alpha }}+\frac{f(\beta )}{e^{\beta }}+\frac{f(\gamma )}{e^{\gamma }}=\frac{81}{e^{3}}$ .

Φιλικά,
Μάριος

Λάμπρος Μπαλός · #79

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 24 (προσωπική πηγή : Μαθηματικά Γ Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατ/σης, Δημήτριος Κατσαρός, Ελληνοεκδοτική)

Θεωρούμε μία συνάρτηση που έχει πεδίο ορισμού το όπου και είναι δύο φορές παραγωγίσιμη.

i) Αν υποθέσουμε ότι $lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-e^{2x}+1}{sin2x} =-1$ , να βρείτε τις τιμές και .

ii) Αν υποθέσουμε ότι για τους πραγματικούς , με , οι είναι ομόσημοι και ισχύει , να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi \in (a,c)$ τέτοιο, ώστε $f'( \xi) =0$

iii) Αν υποθέσουμε ότι για την ισχύει $f''(x)(x^{2}+1)=2f(x)$ και , να αποδείξετε ότι υπάρχει $\xi_{1} \in R$ τέτοιο, ώστε $f(x)= \xi_{1}(x^{2}+1)$ για κάθε $x \in R$ .

Αφορμής δοθείσης από μια παρατήρηση του Χρήστου Ντάβα.
Ας λύσουμε τα δύο πρώτα ερωτήματα γνωρίζοντας ότι η

είναι μία φορά παραγωγίσιμη και όχι δύο. Πιστεύω για τους μαθητές έχουν αξία!
Χρήστο σε ευχαριστώ!

Tolaso J Kos · #80

Tolaso J Kos έγραψε:Άσκηση 16 (από περιοδικό)

Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ η οποία ορίζεται ως εξής: $\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} x\log^2 \left | x \right | & , & x \neq 0 \\ 0& , & x =0 \end{matrix}\right.}$ . Να δείξετε ότι είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ και να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου $\Omega$ που περικλείεται της $\mathcal{C}_f$ , του άξονα και των ευθειών $x=0, \; x=\frac{1}{e}$ .

Είχε και άλλα ερωτήματα (όπως κυρτότητα, σύνολο τιμών κτλ) αλλά δε τα προσθέτω αφού είναι αρκετά γνωστά ως "μεθοδολογίες" και αρκετά χρονοβόρα στο γράψιμο.

Επαναφορά. Αν και την ιδέα μάλλον την έχω ξανά βάλει. Δε πειράζει.

Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Μέλη σε σύνδεση