Θεωρητική

pito · #1

Καλησπέρα

. Χριστός Ανέστη , χρόνια πολλά σε όλα τα μέλη!

Μια απλή θεωρητική άσκηση:
Να δείξετε ότι για μια παραγωγίσιμη και αντιστρέψιμη συνάρτηση

, με την αντίστροφή της παραγωγίσιμη, οι εφαπτομένες των γραφικών παραστάσεων της

και της αντίστροφής της σε σημεία συμμετρικά ως προς την y=x

, είναι συμμετρικές ως προς την y=x

.

Τροβαδούρος · #2

Για κάθε

στο πεδίο ορίσμού της

ισχύει

$f^{-1}(f(x))=x \Rightarrow f^{-1}'(f(x)) f'(x)=1$

για κάθε σημείο $(x_0,f(x_0))\in C_f$ το συμμετρικό του ως προς την y=x

είναι το
$(f(x_0),x_0)=(f(x_0),f^{-1}(f(x_0)))$

Η εξίσωση της εφαπτομένης στο (x_0,f(x_0))

είναι η

και άρα η συμμετρική της ως προς την y=x

είναι η

$y=\dfrac{x-f(x_0)}{f'(x_0)}+x_0 = f^{-1}'(f(x_0))*x -f(x_0)*f^{-1}'(f(x_0)) + f^{-1}(f(x_0))$ που είναι η εξίσωση εφαπτομένης της $C_{f^{-1}}$
στο $(f(x_0),f^{-1}(f(x_0)))$

pito · #3

Ευχαριστώ για την απάντηση.

Σε παρόμοια ερώτηση , αν η

είναι αντιστρέψιμη και η αντίστροφή της είναι συνεχής, για τις ασύμπτωτες της $C_{f^{-1}}$ με δεδομένες τις ασύμπτωτες της $C_{f}$ , αρκεί μόνο να βρούμε τις συμμετρικές των ασυμπτώτων της δεύτερης ως προς την y=x

, χωρίς περαιτέρω απόδειξη; (Η παραπάνω τεχνική χρησιμοποιείται σε θέμα της νέας βάσης ασκήσεων της ΕΜΕ).

Ευχαριστώ.

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #4

Τροβαδούρος έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 12, 2018 2:35 am
Για κάθε στο πεδίο ορίσμού της ισχύει

$f^{-1}(f(x))=x \Rightarrow (f^{-1}(f(x)))' f'(x)=1$

Αυτό δεν είναι σωστό.

Τροβαδούρος έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 12, 2018 2:35 am

$y= ... = (f^{-1}(f(x_0)))'*x -f(x_0)*(f^{-1}(f(x_0)))' + f^{-1}(f(x_0))$

Η εξίσωση αυτή γίνεται y=x_0

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

pito έγραψε: ↑
Τετ Απρ 11, 2018 11:51 pm
Καλησπέρα . Χριστός Ανέστη , χρόνια πολλά σε όλα τα μέλη!

Μια απλή θεωρητική άσκηση:
Να δείξετε ότι για μια παραγωγίσιμη και αντιστρέψιμη συνάρτηση , με την αντίστροφή της παραγωγίσιμη, οι εφαπτομένες των γραφικών παραστάσεων της και της αντίστροφής της σε σημεία συμμετρικά ως προς την , είναι συμμετρικές ως προς την .

Μια ερώτηση.
Εχει πουθενά το βιβλίο της Β Λυκείου την συνθήκη για να είναι δύο ευθείες συμμετρικές ως προς
μια άλλη; (έστω και σε άσκηση)

Τροβαδούρος · #6

NIZ έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 01, 2018 12:28 pm

Τροβαδούρος έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 12, 2018 2:35 am
Για κάθε στο πεδίο ορίσμού της ισχύει

$f^{-1}(f(x))=x \Rightarrow (f^{-1}(f(x)))' f'(x)=1$

Αυτό δεν είναι σωστό.

Τροβαδούρος έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 12, 2018 2:35 am

$y= ... = (f^{-1}(f(x_0)))'*x -f(x_0)*(f^{-1}(f(x_0)))' + f^{-1}(f(x_0))$
Η εξίσωση αυτή γίνεται

Αν κατάλαβα καλά το λάθος ήταν στη θέση του '.
Νομίζω το διόρθωσα.

#7

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 01, 2018 2:01 pm

pito έγραψε: ↑
Τετ Απρ 11, 2018 11:51 pm
Καλησπέρα . Χριστός Ανέστη , χρόνια πολλά σε όλα τα μέλη!

Μια απλή θεωρητική άσκηση:
Να δείξετε ότι για μια παραγωγίσιμη και αντιστρέψιμη συνάρτηση , με την αντίστροφή της παραγωγίσιμη, οι εφαπτομένες των γραφικών παραστάσεων της και της αντίστροφής της σε σημεία συμμετρικά ως προς την , είναι συμμετρικές ως προς την .
Μια ερώτηση.
Εχει πουθενά το βιβλίο της Β Λυκείου την συνθήκη για να είναι δύο ευθείες συμμετρικές ως προς
μια άλλη; (έστω και σε άσκηση)

Σταύρο, από όσο θυμάμαι όχι, εκτός κι αν προστέθηκε φέτος και δεν το πήρα είδηση. ΠΟυ θέλεις όμως να καταλήξεις ;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 04, 2018 5:13 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 01, 2018 2:01 pm

pito έγραψε: ↑
Τετ Απρ 11, 2018 11:51 pm
Καλησπέρα . Χριστός Ανέστη , χρόνια πολλά σε όλα τα μέλη!

Μια απλή θεωρητική άσκηση:
Να δείξετε ότι για μια παραγωγίσιμη και αντιστρέψιμη συνάρτηση , με την αντίστροφή της παραγωγίσιμη, οι εφαπτομένες των γραφικών παραστάσεων της και της αντίστροφής της σε σημεία συμμετρικά ως προς την , είναι συμμετρικές ως προς την .
Μια ερώτηση.
Εχει πουθενά το βιβλίο της Β Λυκείου την συνθήκη για να είναι δύο ευθείες συμμετρικές ως προς
μια άλλη; (έστω και σε άσκηση)
Σταύρο, από όσο θυμάμαι όχι, εκτός κι αν προστέθηκε φέτος και δεν το πήρα είδηση. ΠΟυ θέλεις όμως να καταλήξεις ;

Γεια σου Μπάμπη.
Θέλω να πω ότι είναι άστοχη η άσκηση.
(για μαθητές εννοώ)
Βέβαια εδώ επειδή έχουμε συμμετρία ως προς την y=x

η συμμετρική ευθεία είναι η αντίστροφη
συνάρτηση οπότε μπορεί να ισχυρισθεί κάποιος ότι ένας μαθητής μπορεί να την βρει.

Θεωρητική

Θεωρητική

Re: Θεωρητική

Re: Θεωρητική

Re: Θεωρητική

Re: Θεωρητική

Re: Θεωρητική

Re: Θεωρητική

Re: Θεωρητική

Μέλη σε σύνδεση