Mία θετική ρίζα

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

orestisgotsis έγραψε:Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση $\displaystyle{12{{x}^{4}}-14{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-5=0}$ έχει ακριβώς μία θετική ρίζα

Όταν $\displaystyle{x\in [0,1]}$ είναι

$\displaystyle{f(x):=12{{x}^{4}}-14{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-5=x^2(12x^2-14x-3)-5<0,}$ αφού $\displaystyle{12x^2-14x-3<0}$ στο διάστημα $\displaystyle{[0,1].}$

Άρα αναζητούμε ρίζα στο $\displaystyle{[1,+\infty).}$

Πράγματι, είναι $\displaystyle{f(1)f(2)<0,}$ άρα υπάρχει ρίζα στο $\displaystyle{(1,2)}$ , η οποία μάλιστα είναι μοναδική θετική, αφού

$\displaystyle{f'(x)=48x^3-42x^2-6x=6x(8x^2-7x-1)>0,}$ για κάθε $\displaystyle{x\in (1,+\infty).}$

orestisgotsis · #3

ΠΕΡΙΤΤΑ

#4

Είναι άμεσο από τον κανόνα προσήμων του Καρτέσιου. (Απλός κανόνας αλλά έξω από την σχολική ύλη.)

orestisgotsis · #5

ΠΕΡΙΤΤΑ

Mία θετική ρίζα

Mία θετική ρίζα

Re: Mία θετική ρίζα

Re: Mία θετική ρίζα

Re: Mία θετική ρίζα

Re: Mία θετική ρίζα

Μέλη σε σύνδεση