Παράγωγος Ολοκληρώματος

stranger · #1

Από όσο θυμάμαι από τα σχολικά μου χρόνια στην τρίτη λυκείου το σχολικό βιβλίο διατυπώνει αλλά δεν αποδεικνύει το ακόλουθο.
$(\int_{a}^{x}f(t) dt)'$ = f(x)

αν η

είναι συνεχής.
Η απορία μου είναι γιατί το σχολικό δεν αποδεικνύει αυτή τη πρόταση της οποίας η απόδειξη είναι πολύ απλή και προσιτή σε κάθε μαθητή της Γ λυκείου.
Γράφω την απόδειξη.
Έστω x_0

στο πεδίο ορισμού της

. Τότε έχουμε $|\frac{ \int_{a}^{x} f(t) dt - \int_{a}^{x_0} f(t) dt}{x-x_0} - f(x_0)| =$ $|\frac{\int_{x_0}^{x} f(t) dt}{x-x_0} - f(x_0)| =$ $| \frac{\int_{x_0}^{x} [f(t) - f(x_0)] dt}{x-x_0}|$ $\leq \max_{y \in [x_0,x]}|f(y) - f(x_0)|$ . Άρα επειδή η

είναι συνεχής στο x_0

έχουμε $\max_{y \in [x_0,x]}|f(y) - f(x_0)| \rightarrow 0$ για $x \rightarrow x_0$ .
Πιστέυω ότι η απόδειξη αυτή είναι προσιτή σε κάθε μαθητή της Γ λυκείου.
Περιμένω γνώμες.

Μάρκος Βασίλης · #2

stranger έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 19, 2019 6:24 am
Από όσο θυμάμαι από τα σχολικά μου χρόνια στην τρίτη λυκείου το σχολικό βιβλίο διατυπώνει αλλά δεν αποδεικνύει το ακόλουθο.
$(\int_{a}^{x}f(t) dt)'$ = αν η είναι συνεχής.
Η απορία μου είναι γιατί το σχολικό δεν αποδεικνύει αυτή τη πρόταση της οποίας η απόδειξη είναι πολύ απλή και προσιτή σε κάθε μαθητή της Γ λυκείου.
Γράφω την απόδειξη.
Έστω στο πεδίο ορισμού της . Τότε έχουμε $|\frac{ \int_{a}^{x} f(t) dt - \int_{a}^{x_0} f(t) dt}{x-x_0} - f(x_0)| =$ $|\frac{\int_{x_0}^{x} f(t) dt}{x-x_0} - f(x_0)| =$ $| \frac{\int_{x_0}^{x} [f(t) - f(x_0)] dt}{x-x_0}|$ $\leq \max_{y \in [x_0,x]}|f(y) - f(x_0)|$ . Άρα επειδή η είναι συνεχής στο έχουμε $\max_{y \in [x_0,x]}|f(y) - f(x_0)| \rightarrow 0$ για $x \rightarrow x_0$ .
Πιστέυω ότι η απόδειξη αυτή είναι προσιτή σε κάθε μαθητή της Γ λυκείου.
Περιμένω γνώμες.

Νομίζω ότι η απόδειξη του τελευταίου βήματος, ότι, δηλαδή:

$\displaystyle \lim_{x\to x_0^+}\max\limits_{y\in[x_0,x]}|f(y)-f(x_0)|=0$

και, έπειτα:

$\displaystyle \lim_{x\to x_0^-}\max\limits_{y\in[x,x_0]}|f(y)-f(x_0)|=0$

ξεφεύγει από τα όρια που καλούνται να αντιμετωπίσουν οι μαθητές στην ύλη τους κατά πολύ, γι' αυτό και δεν έχει συμπεριληφθεί. Επίσης, αυτό που μας κάνει τη δουλειά, αν δεν αγνοώ κάτι, δεν είναι απλώς η συνέχεια αλλά η ομοιόμορφη συνέχεια της

στο εν λόγω διάστημα - συνεχής σε κλειστό, άρα και ομοιόμορφα συνεχής, για την οποία δεν μπορεί να γίνει λόγος στο σχολείο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 19, 2019 10:21 am
Επίσης, αυτό που μας κάνει τη δουλειά, αν δεν αγνοώ κάτι, δεν είναι απλώς η συνέχεια αλλά η ομοιόμορφη συνέχεια της στο εν λόγω διάστημα - συνεχής σε κλειστό, άρα και ομοιόμορφα συνεχής, για την οποία δεν μπορεί να γίνει λόγος στο σχολείο.

Όχι δεν χρειάζεται η ομοιόμορφη συνέχεια για την παραγώγιση του ολοκληρώματος.
Ισχύει ότι

Αν $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$
Riemann ολοκληρώσιμη και θέσουμε $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$
τότε
F'(x)=f(x)

στα $x\in [a,b]$ στα οποία η

είναι συνεχής.

#4

Περιληπτική απόδειξη
Με την βοήθεια του Θ.Ε.Τ δείχνουμε το Θ.Μ.Τ.ολ
$\displaystyle{ m\le f(t)\le M\Rightarrow ...m\le \frac{\int_{a}^{b}{f(t)dt}}{b-a}\le M}$
Aπό ΘΕΤ $\displaystyle{\frac{\int_{x_0}^{x}{f(t)dt}}{x-x_0}=f(\xi)}$
Ο λόγος μεταβολης $\displaystyle{\frac{\int_{a}^{x}{f(t)dt}-{\int_{a}^{x_0}{f(t)dt}}}{x-x_0}}$
από το ΘΜΤολ λόγω συνέχειας από το ΚΠ τείνει στο $\displaystyle{f(x_0)}$

stranger · #5

R BORIS έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 19, 2019 6:31 pm
Περιληπτική απόδειξη
Με την βοήθεια του Θ.Ε.Τ δείχνουμε το Θ.Μ.Τ.ολ
$\displaystyle{ m\le f(t)\le M\Rightarrow ...m\le \frac{\int_{a}^{b}{f(t)dt}}{b-a}\le M}$
Aπό ΘΕΤ $\displaystyle{\frac{\int_{x_0}^{x}{f(t)dt}}{x-x_0}=f(\xi)}$
Ο λόγος μεταβολης $\displaystyle{\frac{\int_{a}^{x}{f(t)dt}-{\int_{a}^{x_0}{f(t)dt}}}{x-x_0}}$
από το ΘΜΤολ λόγω συνέχειας από το ΚΠ τείνει στο $\displaystyle{f(x_0)}$

Ωραία απόδειξη!Αυτή σίγουρα δεν ξεφεύγει από το σχολικό πλαίσιο.

Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 19, 2019 10:21 am

stranger έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 19, 2019 6:24 am
Από όσο θυμάμαι από τα σχολικά μου χρόνια στην τρίτη λυκείου το σχολικό βιβλίο διατυπώνει αλλά δεν αποδεικνύει το ακόλουθο.
$(\int_{a}^{x}f(t) dt)'$ = αν η είναι συνεχής.
Η απορία μου είναι γιατί το σχολικό δεν αποδεικνύει αυτή τη πρόταση της οποίας η απόδειξη είναι πολύ απλή και προσιτή σε κάθε μαθητή της Γ λυκείου.
Γράφω την απόδειξη.
Έστω στο πεδίο ορισμού της . Τότε έχουμε $|\frac{ \int_{a}^{x} f(t) dt - \int_{a}^{x_0} f(t) dt}{x-x_0} - f(x_0)| =$ $|\frac{\int_{x_0}^{x} f(t) dt}{x-x_0} - f(x_0)| =$ $| \frac{\int_{x_0}^{x} [f(t) - f(x_0)] dt}{x-x_0}|$ $\leq \max_{y \in [x_0,x]}|f(y) - f(x_0)|$ . Άρα επειδή η είναι συνεχής στο έχουμε $\max_{y \in [x_0,x]}|f(y) - f(x_0)| \rightarrow 0$ για $x \rightarrow x_0$ .
Πιστέυω ότι η απόδειξη αυτή είναι προσιτή σε κάθε μαθητή της Γ λυκείου.
Περιμένω γνώμες.
Νομίζω ότι η απόδειξη του τελευταίου βήματος, ότι, δηλαδή:

$\displaystyle \lim_{x\to x_0^+}\max\limits_{y\in[x_0,x]}|f(y)-f(x_0)|=0$

και, έπειτα:

$\displaystyle \lim_{x\to x_0^-}\max\limits_{y\in[x,x_0]}|f(y)-f(x_0)|=0$

ξεφεύγει από τα όρια που καλούνται να αντιμετωπίσουν οι μαθητές στην ύλη τους κατά πολύ, γι' αυτό και δεν έχει συμπεριληφθεί. Επίσης, αυτό που μας κάνει τη δουλειά, αν δεν αγνοώ κάτι, δεν είναι απλώς η συνέχεια αλλά η ομοιόμορφη συνέχεια της στο εν λόγω διάστημα - συνεχής σε κλειστό, άρα και ομοιόμορφα συνεχής, για την οποία δεν μπορεί να γίνει λόγος στο σχολείο.

Ναι μπορεί να είναι κάπως τσιμπημένο το τελευταίο βήμα.
Παρολαυτά ισχύει πως $\max_{y \in [x_0,x]}|f(y) - f(x_0)| \rightarrow 0$ όταν η

είναι συνεχής στο x_0

.Δεν χρειάζεται η ομοιόμορφη συνέχεια.

Μάρκος Βασίλης · #6

Ναι, όντως, τώρα που το ξανασκέφτομαι, δίκιο έχετε, δε χρειάζεται η ομοιόμορφη συνέχεια.

Ωστόσο, ακόμα και μία απόδειξη που χρησιμοποιεί το ΘΜΤολ είναι εκτός ύλης με την ύλη των τελευταίων ετών.

Άλλωστε, πέρα από τον μαθηματικό φορμαλισμό, η ιδέα της απόδειξης μπορεί να δοθεί στα παιδιά σε πλαίσιο διαίσθησης, που είναι και αυτό που έχει αξία για τους περισσότερους μαθητές. Σε τελική ανάλυση, σε επίπεδο λυκείου, μου φαίνεται πιο χρήσιμο να δίνεται έμφαση στις «διδακτικές» αποδείξεις - αυτές, δηλαδή, που έχουν να προσφέρουν κάτι πέρα από μία απλή απόδειξη ενός γεγονότος - και όχι τόσο σε αποδείξεις που απλά εξυπηρετούν στο να αποδείξουν το ζητούμενο.

Υπό αυτό το πρίσμα, η διαίσθηση της ιδέας αυτής, αρκεί.

Αλλά, όπως είπα, με βάση τη νέα ύλη, δεν επιτρέπεται η παραγώγιση της συνάρτησης ολοκλήρωμα σε καμία μορφή της.

Παράγωγος Ολοκληρώματος

Παράγωγος Ολοκληρώματος

Re: Παράγωγος Ολοκληρώματος

Re: Παράγωγος Ολοκληρώματος

Re: Παράγωγος Ολοκληρώματος

Re: Παράγωγος Ολοκληρώματος

Re: Παράγωγος Ολοκληρώματος

Μέλη σε σύνδεση