Να βρεθεί η συνάρτηση

rastaffari · #1

Καλησπέρα
είδα αυτή την άσκηση και θέλησα να την μοιραστώ μαζί σας

Να βρέθεί συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$
με $f(x)=\int_{0}^{1}{\left|t^{2}+x \right|}dt$

#2

Έστω $\displaystyle{x_{0}}$ τυχαίο αλλά σταθερό.

Διακρίνουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις:

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{x_{0}\geq 0}$ είναι

$\displaystyle{f(x_0)=\int_{0}^{1}(t^2+x_{0})dt=\frac{1}{3}+x_{0}.}$

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{x_{0}\leq -1}$ είναι $\displaystyle{f(x_0)=-\int_{0}^{1}(t^2+x_{0})dt=-\frac{1}{3}-x_{0}.}$

$\displaystyle{\bullet}$ Ας είναι τώρα $\displaystyle{x_{0}\in [-1,0]}$ . Θέτουμε $\displaystyle{x_{0}=-a}$ με $\displaystyle{a\in [0,1].}$

Τότε έχουμε $\displaystyle{f(x_{0})=\int_{0}^{1}|t^2-a|dt=\int_{0}^{\sqrt{a}}|t^2-a|dt+\int_{\sqrt{a}}^{1}|t^2-a|dt=\int_{0}^{\sqrt{a}}(a-t^2)dt+\int_{\sqrt{a}}^{1}(t^2-a)dt=...=\frac{4a\sqrt{a}}{3}-a+\frac{1}{3}=\frac{-4x_{0}\sqrt{-x_{0}}}{3}+x_{0}+\frac{1}{3}.}$

Άρα τελικά είναι

$\displaystyle{f(x)=x+\frac{1}{3}, x\geq 0}$

$\displaystyle{f(x)=\frac{-4x\sqrt{-x}}{3}+x+\frac{1}{3}, x\in [-1,0]}$

$\displaystyle{f(x)=-x-\frac{1}{3}, x\leq -1.}$

Ανδρέας Πούλος · #3

Θάνο,
για φανεί καθαρά για ποιο λόγο διακρίνεις περιπτώσεις, ίσως βοηθά το εξής:
Αφού $0 \leq t\leq 1 \Rightarrow 0\leq t^{2}\leq 1 \Rightarrow x\leq t^{2} +x \leq x +1$ .
Άρα θα εξετάσουμε τις περιπτώσεις:
1) $x\geq 0$

2) $-1 \leq x \leq 0$

3) $x \leq -1$

Επίσης, μήπως η θεώρηση του σταθερού xο δεν είναι τόσο χρήσιμη;

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

#4

Ανδρέας Πούλος έγραψε:
Επίσης, μήπως η θεώρηση του σταθερού xο δεν είναι τόσο χρήσιμη;

Καλημέρα Ανδρέα.

Θεώρησα τυχαίο αλλά σταθερό $\displaystyle{x_{0}}$ κυρίως για την 3η περίπτωση, όπου έγραψα το αρχικό ολοκλήρωμα ως άθροισμα δύο ολοκληρωμάτων, γιατί πιστεύω ότι έτσι είναι εύληπτο για τους μαθητές. Ελπίζω να μην έχει το αντίθετο αποτέλεσμα.

Να βρεθεί η συνάρτηση

Να βρεθεί η συνάρτηση

Re: Να βρεθεί η συνάρτηση

Re: Να βρεθεί η συνάρτηση

Re: Να βρεθεί η συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση