Ύπαρξιακό

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Να δείξετε ότι υπάρχει $x_0\in (0,1)$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle \int_{0}^{1}e^{x_{0}^{2}+x^2}dx>\frac{11}{5}e^{x_{0}^{2}}-1.$

Από Παύλος Τρύφων-Αντρέας Πάτσης

Λάμπρος Κατσάπας · #2

Επαναφορά.

Λάμπρος Μπαλός · #3

Γεια σας συνονόματε.
Το $x_{0}=\sqrt{ln\frac{14}{13}}$ μας κάνει. Η ζητούμενη ισοδύναμα γίνεται

$\frac{14}{13} \int_{0}^{1} e^{x^{2}}dx>\frac{89}{65} \Leftrightarrow$

$\int_{0}^{1} e^{x^{2}}dx > \frac{89}{70}$

που ισχύει αφού

$\int_{0}^{1} e^{x^{2}} dx > \int_{0}^{1}(x^{2}+1)dx= \frac{4}{3} > \frac{89}{70}$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 17, 2019 9:35 pm
Να δείξετε ότι υπάρχει $x_0\in (0,1)$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle \int_{0}^{1}e^{x_{0}^{2}+x^2}dx>\frac{11}{5}e^{x_{0}^{2}}-1.$

Για να δούμε και μία ''φυσιολογική'' λύση που βρίσκει όλα τα $x_{0}$

Η σχέση γράφεται

$\displaystyle e^{-x_{0}^{2}}> \frac{11}{5}-\int_{0}^{1}e^{x^2}dx=a$

Επειδή είναι

$0\leq x\leq 1\Rightarrow 1+x^{2}\leq e^{x^{2}}\leq e^{x}$

oλοκληρώνοντας παίρνουμε ότι

$0< 3-e+\frac{1}{5}< a< \frac{13}{15}< 1$

Αρα λύνοντας βρίσκουμε ότι

$0\leq x_{0}<\sqrt{-\ln a}$

Ύπαρξιακό

Ύπαρξιακό

Re: Ύπαρξιακό

Re: Ύπαρξιακό

Re: Ύπαρξιακό

Μέλη σε σύνδεση