Τουλάχιστον

KARKAR · #1

: Τουλάχιστον.png (11.61 KiB) Προβλήθηκε 1047 φορές

Στο τετράγωνο ABCD

, πλευράς

, σημείο

κινείται στην

και σημείο

στην

, έτσι ώστε : $TS \perp DS$ . Υπολογίστε το ελάχιστο του τμήματος

.

S.E.Louridas · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 24, 2023 8:44 pm
Τουλάχιστον.pngΣτο τετράγωνο , πλευράς , σημείο κινείται στην και σημείο
στην , έτσι ώστε : $TS \perp DS$ . Υπολογίστε το ελάχιστο του τμήματος .

Πάντως από γεωμετρική άποψη, αρκεί ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο DSC

να έχει την ελάχιστη ακτίνα. Αυτό διαπιστώνεται ότι επιτυγχάνεται αν περνά από τις κορυφές D, C

και εφάπτεται της πλευράς AB.

Δηλαδή όταν το

ταυτιστεί με την τομή της μεσοκάθετης της πλευράς

με την πλευρά

δηλαδή με το μέσον της

και έτσι υπολογίζουμε ότι το ζητούμενο τμήμα έχει μέτρο $\displaystyle{\frac{5a}{4}.}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 24, 2023 8:44 pm
Τουλάχιστον.pngΣτο τετράγωνο , πλευράς , σημείο κινείται στην και σημείο

στην , έτσι ώστε : $TS \perp DS$ . Υπολογίστε το ελάχιστο του τμήματος .

Με τους συμβολισμούς του σχήματος και 0 < x,k < a

$\left\{ \begin{gathered} {x^2} = am \hfill \\ \frac{m}{k} = \frac{x}{{a - x}} \hfill \\ {y^2} = D{S^2} + S{T^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} = am \hfill \\ \frac{m}{k} = \frac{x}{{a - x}} \hfill \\ {y^2} = \left( {{a^2} + {x^2}} \right) + {k^2} + {\left( {a - x} \right)^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

: Τουλάχιστον_KARKAR.png (14.88 KiB) Προβλήθηκε 987 φορές

Εύκολα από τις πιο πάνω με απαλοιφή των m,k

έχω:

$\boxed{{y^2} = f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} + {a^2}} \right)\left( {{x^2} - 2ax + 2{a^2}} \right)}}{{{a^2}}}}$ με , $\boxed{f'\left( x \right) = \frac{{2\left( {2x - a} \right)\left( {{x^2} - ax + {a^2}} \right)}}{{{a^2}}}}$

Η συνάρτηση

παρουσιάζει ελάχιστο για ${x_0} = \dfrac{a}{2}$ το $f\left( {{x_0}} \right) = \dfrac{{25{a^2}}}{{16}}$ και άρα:

$\boxed{{y_{\min }} = \dfrac{{5a}}{4}}$ π.χ. αν a = 8

, ${y_{\min }} = 10$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 24, 2023 8:44 pm
Τουλάχιστον.pngΣτο τετράγωνο , πλευράς , σημείο κινείται στην και σημείο

στην , έτσι ώστε : $TS \perp DS$ . Υπολογίστε το ελάχιστο του τμήματος .

.

: Τουλάχιστον_new.png (14.46 KiB) Προβλήθηκε 956 φορές

.
Αν

το μέσο του

και

η προβολή του στην

θα είναι :

$ST = 2y \geqslant 2OM$ . Συνεπώς το

πρέπει να ταυτιστεί με το

και άρα

$OM = \dfrac{a}{2}$ . Τότε $\boxed{OS = OM = \frac{{a + BT}}{2} \Rightarrow DT = a + BT = a + \frac{a}{4} = \frac{{5a}}{4}}$

Τουλάχιστον

Τουλάχιστον

Re: Τουλάχιστον

Re: Τουλάχιστον

Re: Τουλάχιστον

Μέλη σε σύνδεση