mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Φεβ 23, 2023 9:32 am**

$\bigstar$ Για κάθε θετικό αριθμό

, ισχύει προφανώς : $\ln x<x$ . Βρείτε τον μέγιστο

θετικό

, για τον οποίο ισχύει : $a\ln x\leq x , \forall x>0$ .

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Φεβ 23, 2023 9:55 pm**

Για $\displaystyle{x=e}$ προκύπτει ότι $\displaystyle{a \leq e.}$ Θα δείξουμε ότι $\displaystyle{a_{\max}=e}$ αποδεικνύοντας ότι

$\displaystyle{e\ln x\leq x}$ για κάθε $\displaystyle{x>0.}$ Βέβαια αυτό είναι απλούστατο μελετώντας τη συνάρτηση $\displaystyle{e\ln x-x, x>0.}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Φεβ 23, 2023 11:13 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 23, 2023 9:32 am
$\bigstar$ Για κάθε θετικό αριθμό , ισχύει προφανώς : $\ln x<x$ . Βρείτε τον μέγιστο

θετικό , για τον οποίο ισχύει : $a\ln x\leq x , \forall x>0$ .

Ουσιαστικά παραλλαγή της προηγούμενης λύσης:

Αρκεί η μελέτη για x>1