Δημοφιλής συνάρτηση

KARKAR · #1

Μελετήστε πλήρως την συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{x^3+4}{e^{x+1}}$ . Ίσως χρειαστεί να γράψετε αρκετά ,

θα αποζημιωθείτε όμως συμμετέχοντας σε ένα θέμα που θα εξελιχθεί σε εξαιρετικά δημοφιλές !

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 04, 2021 7:33 pm
Μελετήστε πλήρως την συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{x^3+4}{e^{x+1}}$ . Ίσως χρειαστεί να γράψετε αρκετά ,

θα αποζημιωθείτε όμως συμμετέχοντας σε ένα θέμα που θα εξελιχθεί σε εξαιρετικά δημοφιλές !

$\displaystyle \bullet$ Η

είναι συνεχής στο $\mathbb R$ και τέμνει τον άξονα x'x

στο σημείο $\displaystyle ( - \sqrt[3]{4},0)$ και τον y'y

στο $(0, \dfrac{4}{e}).$

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle f'(x) = -\frac{1}{{{e^{x + 1}}}}{(x - 2)^2}(x + 1).$ Άρα η

είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle ( - \infty , - 1].$ γνησίως φθίνουσα

στο $\displaystyle [ - 1, + \infty )$ και παρουσιάζει στο $\boxed{x_0=-1}$ ολικό μέγιστο ίσο με $\boxed{f(-1)=3}$

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle f''(x) = \frac{1}{{{e^{x + 1}}}}(x - 2)(x - 2 + \sqrt 6 )(x - 2 - \sqrt 6 ),$ απ' όπου προκύπτει ότι η

είναι κοίλη σε καθένα από τα

διαστήματα $\displaystyle ( - \infty ,2 - \sqrt 6 ],[2,2 + \sqrt 6 ]$ και κυρτή σε καθένα από τα διαστήματα $[2 - \sqrt 6 ,2],$ $[2 + \sqrt 6 , + \infty ).$

Τα σημεία $\displaystyle A\left( {2 - \sqrt 6 ,\frac{{48 - 18\sqrt 6 }}{{{e^{3 - \sqrt 6 }}}}} \right),B\left( {2,\frac{{12}}{{{e^3}}}} \right),C\left( {2 + \sqrt 6 ,\frac{{48 + 18\sqrt 6 }}{{{e^{3 + \sqrt 6 }}}}} \right)$ είναι σημεία καμπής της γραφικής της παράστασης.

: Δημοφιλής;.png (10.59 KiB) Προβλήθηκε 381 φορές

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^3} + 4}}{{{e^{x + 1}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{x^2}}}{{{e^{x + 1}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{6x}}{{{e^{x + 1}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{6}{{{e^{x + 1}}}} = 0.$ Άρα η

ευθεία $\boxed{y=0}$ είναι οριζόντια ασύμπτωτη στο $+ \infty.$ Εύκολα διαπιστώνουμε ότι δεν υπάρχει άλλη ασύμπτωτη.

$\displaystyle \bullet$ Λόγω μονοτονίας και επειδή $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = - \infty,$ το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι το $(- \infty, 3].$

Όλα τα συμπεράσματα, φαίνονται στη γραφική παράσταση.

Δημοφιλής συνάρτηση

Δημοφιλής συνάρτηση

Re: Δημοφιλής συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση