Διαφορι-κούλα 83

mathxl · #1

Να βρείτε όλες τις παραγωγίσιμες συναρτήσεις $f:\left( {1, + \infty } \right) \to R$ που είναι τέτοιες ώστε να ισχύει:
${x^{f'\left( x \right)}} = {\left( {f\left( x \right)} \right)^x}$ για κάθε x>1

$f\left( x \right) > 0,\forall x > 1$
και $f\left( 2013) = 1$ .

Δική μου κατασκευή.

#2

Διαφορικούλα 83

είναι $\displaystyle{f'(x)lnx=xln(f(x))\Rightarrow \frac{df}{dx}2lnx=(x^2)'lnf \Rightarrow \frac{df}{lnf}=\frac{d(x^2)}{ln(x^2)},\forall x>1,lnf \ne 0 \Rightarrow \int {\frac{df}{lnf}}=\int {\frac{d(x^2)}{ln(x^2)}+c}}$ τότε
αν υπαρχει $\displaystyle{x_0:ln(f(x_0)) \ne 0}$ θα υπάρχει και διάστημα $\displaystyle{I=(a,b)}$ στο οποίο $\displaystyle{ln(f(x))\ne 0}$ και ας είναι α το inf των $\displaystyle{I}$ αν $\displaystyle{a\ge 2013}$ οπότε $\displaystyle{f=ct=1}$ μέχρι το και το αρα
$\displaystyle{\frac{1}{lnf}=\frac{1}{ln(x^2)} \Rightarrow f=x^2}$ που δεν επαληθεύει την αρχική συνθήκη $\displaystyle{f(a)=1}$
αν $\displaystyle{1<a<2013}$ προκύπτει άτοπο λόγω μονοτονίας και συνέχειας στο 1( $\displaystyle{f(1)=1=f(2013))}$
Συνεπώς $\displaystyle{lnf=0\Rightarrow f(x)=1,x>1}$

Βασιλειος · #3

Για κάθε

έχουμε

$x^{f'(x)}=(f(x))^{x}\Leftrightarrow f'(x)lnx=xlnf(x)\Leftrightarrow f'(x)lnx-xlnf(x)=0$

$\Leftrightarrow \frac{f'(x)}{f(x)}lnx-\frac{x}{f(x)}lnf(x)=0\Leftrightarrow (lnf(x))'lnx-\frac{x}{f(x)}lnf(x)=0$

Μπορούμε τώρα να διαιρέσουμε με $\ln x$ καθώς ισχύει: $\forall x>1\Leftrightarrow lnx>ln1=0$ .

Οπότε η σχέση για κάθε x>1

γίνεται

$(lnf(x))'-\frac{x}{f(x)lnx}lnf(x)=0$

$\Leftrightarrow e^{\int_{2013}^{x}{\frac{t}{f(t)lnt}dt}}(lnf(x))'-(e^{\int_{2013}^{x}{\frac{t}{f(t)lnt}dt}})'lnf(x)=0$

$\Leftrightarrow (\frac{lnf(x)}{e^{\int_{2013}^{x}{\frac{t}{f(t)lnt}dt}}})'=0\Leftrightarrow \frac{lnf(x)}{e^{\int_{2013}^{x}{\frac{t}{f(t)lnt}dt}}}=c$

Για x=2013

έχουμε $\frac{lnf(2013)}{e^0}=c\Leftrightarrow c=0$ .

'Αρα $lnf(x)=0 \Leftrightarrow lnf(x)=ln1 \Leftrightarrow f(x)=1$ για κάθε x>1

.

Υ.Γ. Είναι πρώτη φορά που γράφω με latex ...ελπίζω να μην έκανα κάποιο λάθος ...

mathxl · #4

Καλημέρα. Ευχαριστώ για τις απαντήσεις

. Η λύση του Βασίλη είναι και η δική μου με την διαφορά ότι συμβολίζω την αρχική με

και δεν χρησιμοποιώ το ολοκλήρωμα στην αντιπαραγώγιση.

Συμπλήρωμα: Η διαφορά είναι στον συμβολισμό και όχι ουσίας. Δηλαδή έχω $F\left( x \right) = \int\limits_{2013}^x {...}$ και ${\left( {\frac{{\ln f\left( x \right)}}{{{e^{F\left( x \right)}}}}} \right)^\prime } = 0...$

Διαφορι-κούλα 83

Διαφορι-κούλα 83

Re: Διαφορι-κούλα 83

Re: Διαφορι-κούλα 83

Re: Διαφορι-κούλα 83

Μέλη σε σύνδεση