Εύρεση τύπου

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #1

Καλή χρονιά σε όλους

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:\left( {0, + \infty } \right) \to R}$ με $\displaystyle{f(1) = 0}$ , $\displaystyle{f'(1) = 1}$ και τέτοια ώστε $\displaystyle{f''(x) \cdot {e^{2f(x)}} = - 1}$ για κάθε $\displaystyle{x > 0}$ . Να βρείτε τον τύπο της $\displaystyle{f}$ .

#2

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ έγραψε: Καλή χρονιά σε όλους

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:\left( {0, + \infty } \right) \to R}$ με $\displaystyle{f(1) = 0}$ , $\displaystyle{f'(1) = 1}$ και τέτοια ώστε $\displaystyle{f''(x) \cdot {e^{2f(x)}} = - 1}$ για κάθε $\displaystyle{x > 0}$ . Να βρείτε τον τύπο της $\displaystyle{f}$ .

$\displaystyle{ f''\left( x \right) \cdot e^{2f\left( x \right)} = - 1\mathop \Rightarrow \limits^{ \cdot e^{ - 2f\left( x \right)} } f''\left( x \right) = - e^{ - 2f\left( x \right)} \mathop \Rightarrow \limits^{ \cdot 2f'\left( x \right)} 2f'\left( x \right) \cdot f''\left( x \right) = - 2e^{ - 2f\left( x \right)} f'\left( x \right) \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \left[ {\left( {f'\left( x \right)} \right)^2 } \right]^\prime = \left( {e^{ - 2f\left( x \right)} } \right)^\prime \Rightarrow \left( {f'\left( x \right)} \right)^2 = e^{ - 2f\left( x \right)} + c_1 \xrightarrow{{x = 1 \Rightarrow \left( {f'\left( 1 \right)} \right)^2 = e^{ - 2f\left( 1 \right)} + c_1 \mathop \Rightarrow \limits^{f'\left( 1 \right) = 1,f\left( 1 \right) = 0} \ldots c_1 = 0}}\left( {f'\left( x \right)} \right)^2 = e^{ - 2f\left( x \right)} }$

$\displaystyle{ \Rightarrow \left( {f'\left( x \right)} \right)^2 = \left( {e^{ - f\left( x \right)} } \right)^2 \mathop \Rightarrow \limits^{f'(\sigma \upsilon \nu \varepsilon \chi \eta \varsigma \;\alpha \phi o\upsilon \;f\;\delta \iota \varsigma \;\pi \alpha \rho \alpha \gamma \omega \gamma \iota \sigma \iota \mu \eta )} }$

$\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} f'\left( x \right) = e^{ - f\left( x \right)} ,\forall x \in \left( {0, + \infty } \right) \hfill \\ \vee \hfill \\ f'\left( x \right) = - e^{ - f\left( x \right)} ,\forall x \in \left( {0, + \infty } \right)\xrightarrow{{x = 1 \Rightarrow f'\left( 1 \right) = - e^{ - f\left( 1 \right)} \Rightarrow \ldots 1 = - 1(\alpha \tau o\pi )}}\alpha \pi o\rho \rho \pi \tau \varepsilon \tau \alpha \iota \hfill \\ \end{gathered} \right. }$

$\displaystyle{ \Rightarrow f'\left( x \right) = e^{ - f\left( x \right)} ,\forall x \in \left( {0, + \infty } \right)\mathop \Rightarrow \limits^{ \cdot e^{f\left( x \right)} } e^{f\left( x \right)} \cdot f'\left( x \right) = 1,\forall x \in \left( {0, + \infty } \right) \Rightarrow \left( {e^{f\left( x \right)} } \right)^\prime = \left( x \right)^\prime ,\forall x \in \left( {0, + \infty } \right) }$

$\displaystyle{ \Rightarrow e^{f\left( x \right)} = x + c\xrightarrow{{x = 1 \Rightarrow e^{f\left( 1 \right)} = 1 + c\mathop \Rightarrow \limits^{f\left( 1 \right) = 0} \ldots c = 0}}e^{f\left( x \right)} = x,\forall x \in \left( {0, + \infty } \right) \Rightarrow \ln e^{f\left( x \right)} = \ln x,\forall x \in \left( {0, + \infty } \right) }$

$\displaystyle{ \Rightarrow \boxed{f\left( x \right) = \ln x,x \in \left( {0, + \infty } \right)} }$ , που είναι δεκτή μετά τη σχετική επαλήθευση.

Στάθης

parmenides51 · #3

εδώ

mathxl · #4

Σχόλιο που αφορά μαθητές.
Στο σημείο που ο Στάθης γράφει $\displaystyle{{\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} = {\left( {{e^{ - f\left( x \right)}}} \right)^2} \Rightarrow {\rm{ }}}$ $\displaystyle{f'\left( x \right) = {e^{ - f\left( x \right)}},\forall x \in \left( {0, + \infty } \right)}$ ή $\displaystyle{f'\left( x \right) = - {e^{ - f\left( x \right)}},\forall x \in \left( {0, + \infty } \right)}$ και επικαλούμαστε την συνέχεια της πρώτης παραγώγου, θέλει κάτι παραπάνω για να καταλήξουμε στον ένα τύπο για όλα τα

ή στον άλλο για όλα τα

.

Νασιούλας Αντώνης · #5

mathxl έγραψε:Σχόλιο που αφορά μαθητές.
Στο σημείο που ο Στάθης γράφει $\displaystyle{{\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} = {\left( {{e^{ - f\left( x \right)}}} \right)^2} \Rightarrow {\rm{ }}}$ $\displaystyle{f'\left( x \right) = {e^{ - f\left( x \right)}},\forall x \in \left( {0, + \infty } \right)}$ ή $\displaystyle{f'\left( x \right) = - {e^{ - f\left( x \right)}},\forall x \in \left( {0, + \infty } \right)}$ και επικαλούμαστε την συνέχεια της πρώτης παραγώγου, θέλει κάτι παραπάνω για να καταλήξουμε στον ένα τύπο για όλα τα ή στον άλλο για όλα τα .

Βασίλη,
δεν ξέρω αν περιμένεις απάντηση από μαθητή μετά την παραπάνω δημοσίευση.
Όπως και να χει, το κάτι παραπάνω που λες είναι ότι η πρώτη παράγωγος είναι μη μηδενιζόμενη.
Άρα αφού είναι και συνεχής, θα διατηρεί πρόσημο κτλ κτλ...

Α.

mathxl · #6

Ναι Αντώνη ή κάποιο άλλο επιχείρημα του τύπου αν υπάρχουν τιμές που δίνονται από τον ένα τύπο για κάποια

και από τον άλλο τύπο για τα υπόλοιπα

τότε το 0 ως ενδιάμεση τιμή θα έπρεπε δίνεται από κάποιον τύπο όμως...

arisxat · #7

Συνάδελφοι έχω μια απορία. Από το σημείο της σχέσης που μας δίνεται στην εκφώνηση μέχρι την εφαρμογή του πορίσματος των ίσων παραγώγων χρειάζεται να κινούμαστε με ισοδυναμίες ή όχι ; Αν η απάντηση είναι θετική πως καλυπτόμαστε στον πολλαπλασιασμό με την f΄(x) αφού δεν γνωρίζουμε αν μηδενίζεται ή όχι ; Ευχαριστώ εκ των προτέρων και καλή χρονιά!!!

Α.Κυριακόπουλος · #8

arisxat έγραψε:Συνάδελφοι έχω μια απορία. Από το σημείο της σχέσης που μας δίνεται στην εκφώνηση μέχρι την εφαρμογή του πορίσματος των ίσων παραγώγων χρειάζεται να κινούμαστε με ισοδυναμίες ή όχι ; Αν η απάντηση είναι θετική πως καλυπτόμαστε στον πολλαπλασιασμό με την f΄(x) αφού δεν γνωρίζουμε αν μηδενίζεται ή όχι ; Ευχαριστώ εκ των προτέρων και καλή χρονιά!!!

Εξαρτάται με ποιον τρόπο εργάζεσαι.
Βλέπε εδώ ,σελίδα 10, παράγραφοι 3.1 και 3.2.

mathxl · #9

Φαντάζομαι αναφέρεται στην δική μου λύση που παραπέμπει η διεύθυνση του parmenides51. Εκεί πράγματι ο mathxl έχει σφάλμα

. Χρειάζεται συνεπαγωγή και στο τέλος επαλήθευση.
Κατά την γνώμη μου η συνεπαγωγή+ επαλήθευση είναι ασφαλέστερος τρόπος παρά οι ισοδυναμίες που αρέσκομαι να χρησιμοποιώ.

#10

arisxat έγραψε:Συνάδελφοι έχω μια απορία. Από το σημείο της σχέσης που μας δίνεται στην εκφώνηση μέχρι την εφαρμογή του πορίσματος των ίσων παραγώγων χρειάζεται να κινούμαστε με ισοδυναμίες ή όχι ; Αν η απάντηση είναι θετική πως καλυπτόμαστε στον πολλαπλασιασμό με την f΄(x) αφού δεν γνωρίζουμε αν μηδενίζεται ή όχι ; Ευχαριστώ εκ των προτέρων και καλή χρονιά!!!

Δεν είχα δει ακόμα αυτό το μήνυμα και όταν διάβασα τη λύση του Στάθη είδα ότι δεν είχε γράψει την τελευταία παρατήρηση, την οποία πρόσθεσα εγώ, ενημερώνοντάς τον συγχρόνως . Αυτό έγινε χάριν πληρότητας της λύσης, αφού τις λύσεις διαβάζουν και πολλοί μαθητές μας.
Αν η απορία σου είναι μήπως στο τέλος χρειάζονταν επαλήθευση και όχι κάτι άλλο, η απάντηση είναι ναι.Σε ευχαριστώ και γω για την επισήμανση.
Δυστυχώς, τη λύση στο άλλο post του Χρήστου Καρδάση δεν την είχα διαβάσει ,για να κάνω το ίδιο, να το κάνω όμως τώρα αν δεν έχει αντίρρηση ο Βασίλης , μόνο που εκεί πρέπει μια ισοδυναμία στο επίμαχο σημείο που εστιάζεις να γίνει συνεπαγωγή.

Μπάμπης

Α.Κυριακόπουλος · #11

mathxl έγραψε:
Κατά την γνώμη μου η συνεπαγωγή+ επαλήθευση είναι ασφαλέστερος τρόπος παρά οι ισοδυναμίες που αρέσκομαι να χρησιμοποιώ.

Αγαπητέ Βασίλη.
Για να βρούμε στα μαθηματικά ένα μαθηματικό αντικείμενο, όπως γνωρίζεις, υπάρχουν δύο τρόποι: Συνεπαγωγές και επαλήθευση ο ένας και ισοδυναμίες ο άλλος
( Εδώ ,σελίδα 10, για όσους δεν το γνωρίζουν). Και οι δύο είναι σωστοί. Δεν έχει νόημα να λέμε ότι ο ένας είναι ασφαλέστερος από τον άλλον. Ακόμα και υπό την έννοια που υπονοείς και οι δύο είναι εξίσου ασφαλείς. Ποιον τρόπο θα εφαρμόσουμε από τους δύο σε ένα πρόβλημα δεν είναι θέμα συμπάθειας προς τον ένα ή τον άλλο τρόπο, αλλά το κριτήριο είναι ποιος από τους δύο τρόπους ταιριάζει στο συγκεκριμένο πρόβλημα. Όταν λέω ταιριάζει εννοώ ποιος από τους δύο τρόπους κάνει τη λύση του προβλήματος όσο γίνεται απλή, κομψή και σύντομη.
Φιλικά.

mathxl · #12

Τις καλημέρες μου κύριε Αντώνη. Αυτό που θέλω να πω με την λέξη "ασφαλέστερος" είναι η μηχανική χρήση της ισοδυναμίας χωρίς συνειδητό έλεγχο της άντίστροφης συνεπαγωγής, με αποτέλεσμα βαθμολογική απώλεια. Κλασικό παράδειγμα η λύση που παρέθεσα. Δεν είναι λίγες οι φορές που θα την πατήσουν ακόμη και καλοί μαθητές. Εγώ ως "τεμπέλης" προτιμώ τις ισοδυναμίες όταν είναι επιτρεπτές (απ'ότι φάνηκε χωρίς 100% επιτυχία

). Σίγουρα δεν είναι θέμα συμπάθειας. Διαφωνούμε στο διδακτικό κομμάτι, υπό την έννοια ότι έχει νόημα να μιλάμε για ασφαλέστερο τρόπο. Στην τάξη λοιπόν προτείνω συνεπαγωγή και επαλήθευση.

Με εκτίμηση Βασίλης.

Α.Κυριακόπουλος · #13

mathxl έγραψε:Τις καλημέρες μου κύριε Αντώνη. Αυτό που θέλω να πω με την λέξη "ασφαλέστερος" είναι η μηχανική χρήση της ισοδυναμίας χωρίς συνειδητό έλεγχο της άντίστροφης συνεπαγωγής, με αποτέλεσμα βαθμολογική απώλεια. Κλασικό παράδειγμα η λύση που παρέθεσα. Δεν είναι λίγες οι φορές που θα την πατήσουν ακόμη και καλοί μαθητές. Εγώ ως "τεμπέλης" προτιμώ τις ισοδυναμίες όταν είναι επιτρεπτές (απ'ότι φάνηκε χωρίς 100% επιτυχία ). Σίγουρα δεν είναι θέμα συμπάθειας. Διαφωνούμε στο διδακτικό κομμάτι, υπό την έννοια ότι έχει νόημα να μιλάμε για ασφαλέστερο τρόπο. Στην τάξη λοιπόν προτείνω συνεπαγωγή και επαλήθευση.

Με εκτίμηση Βασίλης.

Αγαπητέ Βασίλη.
Αν κάποιος κάνει μηχανική χρήση της ισοδυναμίας αυτό σημαίνει ότι δεν έχει κατανοήσει την έννοια της ισοδυναμίας και δεν μιλάμε για λάθη που πιθανόν να γίνουν, γιατί λάθη μπορεί να γίνουν και στις συνεπαγωγές.
• Βασίλη, καταλαβαίνω τι θέλεις να πεις και κάπου έχεις δίκιο. Ας μην το γενικεύσουμε όμως γιατί ο τρόπος που προτείνεις να ακολουθείται πάντοτε, πολλές φορές στην επαλήθευση είναι επίπονος έως και ανεφάρμοστος.
Φιλικά.

Εύρεση τύπου

Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Μέλη σε σύνδεση