mathematica.gr


https://mail.mathematica.gr/forum/

Μονοτονία

https://mail.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=53&t=13707

Σελίδα 1 από 1

Μονοτονία

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Φεβ 27, 2011 12:30 pm
από Plutarch
Συνάντησα την παρακάτω άσκηση:
Να δείξετε ότι η f(x)=ln(1+x^2)-e^{-x}+1 είναι γνησίως αύξουσα.
Η λύση που σκέφτηκα είναι η παρακάτω:
f'(x)=\frac{2x}{1+x^2}+e^{-x}\Rightarrow f'(x)=\frac{2x}{1+x^2}+\frac{1}{e^x}\Rightarrow f'(x)=\frac{x^2+2e^xx+1}{(1+x^2)e^x}
ο παρανομαστής (1+x^2)e^x>0 άρα εξετάζω τον αριθμητή ως προς το πρόσημο. θέτω g(x)=x^2+2e^xx+1
Για x\geq0 \Rightarrow g(x)>0 για x<0 θεωρώ την g(x) σαν δευτεροβάθμια με \alpha=1, \beta=e^{-x}, \gamma=1, η διακρίνουσα είναι Δ=(2e^x)^2-4\cdot1 \cdot1=4e^{2x}-4=4(e^{2x}-1)<0 για x<0. Άρα g(x)>0 και για x<0 άρα g(x)>0 για κάθε x \in R
Επειδή f'(x)=\frac{g(x)}{(1+x^2)e^x} \Rightarrow f'(x)>0 άρα f(x) γνησίως αύξουσα
Υπάρχει κάποιο λάθος στο συλλογισμό? Υπάρχει άλλος τρόπος αντιμετώπισης του θέματος?

Re: Μονοτονία

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Φεβ 27, 2011 12:50 pm
από chris_gatos
Μέχρι την εύρεση της παραγώγου θα έκανα το ίδιο.(Δε θα έκανα ομώνυμα τα κλάσματα)
Απο εκεί και πέρα:
Αν \displaystyle{ x \ge 0 } τότε προφανώς: \displaystyle{ f'(x) > 0 }
Τώρα αν \displaystyle{ x < 0 } έχω πως \displaystyle{ x^2 + 1 \ge - 2x \Rightarrow \frac{{ - 2x}}{{x^2 + 1}} \le 1 \Rightarrow \frac{{2x}}{{x^2 + 1}} \ge - 1(1) } αλλά και \displaystyle{ e^x < 1 \Rightarrow \frac{1}{{e^x }} > 1(2) }
Προσθέτοντας (1) και (2) έχω:

\displaystyle{ f'(x) > 0 }
Συνεπώς για κάθε πραγματικό αριθμό ισχύει: \displaystyle{ f'(x) > 0 }
Αρα η f γνήσια αύξουσα στο \mathbb{R}.

ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗ:Μετά την ανάσυρση της άσκησης στις 12/02/2013 διόρθωσα μερικές παλιές μου "ατασθαλίες" στον κώδικα Latex.

Re: Μονοτονία

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Φεβ 27, 2011 12:59 pm
από Mihalis_Lambrou
Σωστό είναι (εκτός από ένα τυπογραφικό λάθος για την τιμή του β).

Με την ευκαιρία όμως, θα σου πρότεινα μικρή βελτίωση στην γραφή, με απεμπολή των περιττών.

Για παράδειγμα η
f'(x)=\frac{2x}{1+x^2}+e^{-x}\Rightarrow f'(x)=\frac{2x}{1+x^2}+\frac{1}{e^x}\Rightarrow f'(x)=\frac{x^2+2e^xx+1}{(1+x^2)e^x}

είναι σωστή αλλά έχει περιττή χρήση των "συνεπάγεται". Είναι καλύτερα να την γράψεις με ισότητες ως

f'(x)=\frac{2x}{1+x^2}+e^{-x}= \frac{2x}{1+x^2}+\frac{1}{e^x} =\frac{x^2+2e^xx+1}{(1+x^2)e^x}.

Επίσης, όταν γράφεις την περίπτωση x<0 καλύτερα να αποφύγεις την διακρίνουσα και να γράψεις (πράγμα που είναι ακριβώς το ίδιο!)

x^2+2e^xx+1 = (x+e^x)^2 +1- e^{2x} > 0

και τελειώσαμε!

Στα μαθηματικά υπάρχει ένας άγραφος κανόνας που λέει ότι πρέπει να γράφουμε λιτά, χωρίς τα περιττά.

Η υπερβολική χρήση του "συνεπάγεται" σε περιπτώσεις που θα μπορούσαμε να βάλουμε ισότητα, είναι ένα παράδειγμα που το βλέπουμε πάρα πολύ συχνά σε μαθητές. Αργά ή γρήγορα κάποιοι (αλλά δυστυχώς όχι όλοι) αντιλαμβάνονται την λιτότερη γραφή.

Ελπίζω με αυτά να βοήθησα.

Φιλικά,

Μιχάλης
Όλοι οι χρόνοι είναι UTC+03:00
Σελίδα 1 από 1
Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Limited
https://www.phpbb.com/