ασκη-ΣΟΥΛΑ

venpan · #1

Εστω

παραγωγίσιμη με $f(x)+f'(x)\leq 1$ για κάθε $x\in R$ και f(0)=0

. Ποια είναι η μέγιστη δυνατή τιμή του f(1)

;

Βενάρδος Παντελής

mathxl · #2

Μία μη σχολική απάντηση

$\displaystyle{f(x) + f'(x) \le 1 \Leftrightarrow {\left[ {{e^x}f\left( x \right) - x} \right]^\prime } \le 0}$
άρα η h είναι φθίνουσα με $\displaystyle{h\left( x \right) = {e^x}f\left( x \right) - x}$

Επειδή 0 < 1 θα είναι $\displaystyle{h\left( 1 \right) \le h\left( 0 \right) \Leftrightarrow ef\left( 1 \right) - 1 \le 0 \Leftrightarrow f\left( 1 \right) \le \frac{1}{e}}$
άρα μέγιστη τιμή φαίνεται να είναι το 1/e

mathxl · #3

Μία σχολική λύση
Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{h\left( x \right) = {e^x}f\left( x \right) - x}$
εφαρμόζουμε ΘΜΤ στο [0,χ], χ > 0
$\displaystyle{h'\left( \xi \right) \le 0 \Leftrightarrow \frac{{{e^x}f\left( x \right) - x}}{x} \le 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) \le \frac{x}{{{e^x}}},x > 0}$
οπότε για χ = 1 παίρνουμε την μέγιστη δυνατή τιμή

sxima · #4

Και στις δυο προηγούμενες απαντήσεις προκύπτει ότι $f(1)\leq \frac{1}{e}$ . Είναι όμως το 1/e
τιμή του f(1) άρα μέγιστη τιμή του;

mathxl · #5

Διόρθωση επιπολαιότητας στον πολλαπλασιασμό...λάθος αρχική

ευχαριστώ την Φωτεινή για το διακριτικό της μήνυμα
Ξαναγράφω την λύση διορθωμένη
$\displaystyle{h\left( t \right) = {e^t}f\left( t \right) - {e^t}}$

ΘΜΤ στο [0,χ]
$\displaystyle{h'\left( \xi \right) \le 0 \Leftrightarrow \frac{{{e^x}f\left( x \right) - {e^x} + 1}}{x} \le 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) \le \frac{{{e^x} - 1}}{{{e^x}}},x > 0}$

για χ= 1 το ζητούμενο που επιτυγχάνεται αν $\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{{{e^x} - 1}}{{{e^x}}}}$

#6

sxima έγραψε:Και στις δυο προηγούμενες απαντήσεις προκύπτει ότι $f(1)\leq \frac{1}{e}$ . Είναι όμως το 1/e
τιμή του f(1) άρα μέγιστη τιμή του;

Δεδομένου ότι οι συνθήκες ικανοποιούνται από περισσότερες από μία συναρτήσεις, πιστεύω, το νόημα του προβλήματος είναι:
Από όλες τις συναρτήσεις που ικανοποιούν τις δεδομένες συνθήκες, να βρεθεί η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να λάβει το $\displaystyle{f(1)}$ και όπως λέει ο Βασίλης, αυτό συμβαίνει όταν $\displaystyle{f(x)=1-e^{-x}}$ .

venpan · #7

Εστω $g(x)=e^{x}f(x)$

$g '(x)=e^{x}(f(x)+f '(x))\leq e^{x}$

Ολοκληρώνουμε από 0 ως 1

$g(1)-g(0)=\int_{0}^{1}{g '(x)}dx\leq \int_{0}^{1}{e^{x}}dx =e-1$

Είναι g(1)-g(0)=ef(1)

άρα $f(1)\leq \frac{e-1}{e}$

το μέγιστο επιτυγχάνεται όταν $g'(x)=e^{x}$ παντού

άρα f(x)+f '(x)=1

άρα $f(x)=1-e^{-x}$

mathxl · #8

Να πούμε μόνο ότι στην αντιμετώπιση του Παντελή μας λείπει η συνέχεια της παραγώγου για να είναι νόμιμη η ολοκλήρωση λυκειακά

ασκη-ΣΟΥΛΑ

ασκη-ΣΟΥΛΑ

Re: ασκη-ΣΟΥΛΑ

Re: ασκη-ΣΟΥΛΑ

Re: ασκη-ΣΟΥΛΑ

Re: ασκη-ΣΟΥΛΑ

Re: ασκη-ΣΟΥΛΑ

Re: ασκη-ΣΟΥΛΑ

Re: ασκη-ΣΟΥΛΑ

Μέλη σε σύνδεση