Ο μέσος των μέσων

KARKAR · #1

Η συνάρτηση : g(x)=x^2

, είναι η απλούστερη με την ιδιότητα το $\xi$ του Θ . Μ . Τ . για το διάστημα [a , b]

να ισούται με τον αριθμητικό μέσο των άκρων του διαστήματος .

Όμοια η συνάρτηση : $h(x)=x+\dfrac{1}{x}$ , είναι η απλούστερη με την ιδιότητα το $\xi$ του Θ . Μ . Τ . για το διάστημα [a , b]

να ισούται με τον γεωμετρικό μέσο των άκρων του διαστήματος .

Ήρθε η ώρα να αποκαλύψουμε την απλούστερη συνάρτηση με την ιδιότητα το $\xi$ του Θ . Μ . Τ . για το διάστημα [a , b]

να ισούται με τον αριθμητικό μέσο του αριθμητικού και γεωμετρικού μέσου των άκρων του διαστήματος .

Αυτή είναι η συνάρτηση : $f(x)=x+\sqrt{x}$ .

( Γενικότερα η $f(x)=kx+m\sqrt{x}+n$ , για $k , m \in \mathbb{R^*} , n \in \mathbb{R}$ ) . Δείξτε το !

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 29, 2024 7:05 pm
Η συνάρτηση : , είναι η απλούστερη με την ιδιότητα το $\xi$ του Θ . Μ . Τ . για το διάστημα

να ισούται με τον αριθμητικό μέσο των άκρων του διαστήματος .

Όμοια η συνάρτηση : $h(x)=x+\dfrac{1}{x}$ , είναι η απλούστερη με την ιδιότητα το $\xi$ του Θ . Μ . Τ . για το διάστημα

να ισούται με τον γεωμετρικό μέσο των άκρων του διαστήματος .

Ήρθε η ώρα να αποκαλύψουμε την απλούστερη συνάρτηση με την ιδιότητα το $\xi$ του Θ . Μ . Τ . για το διάστημα

να ισούται με τον αριθμητικό μέσο του αριθμητικού και γεωμετρικού μέσου των άκρων του διαστήματος .

Αυτή είναι η συνάρτηση : $f(x)=x+\sqrt{x}$ .

( Γενικότερα η $f(x)=kx+m\sqrt{x}+n$ , για $k , m \in \mathbb{R^*} , n \in \mathbb{R}$ ) . Δείξτε το !

Έχουμε ξαναδεί στο φόρουμ διάφορες ωραίες συναρτήσεις που το $\xi$ του Θ.Μ.Τ. είναι "καλαίσθητο", αλλά άντε να τις εντοπίσεις. Για το παραπάνω (το κάνω για την ειδική περίπτωση, αλλά το γενικό είναι όμοιο), έχουμε

$\displaystyle{f'(\xi) = \dfrac {f(b)-f(a) }{b-a}}$ , οπότε $\displaystyle{ 1 + \dfrac {1}{2\sqrt \xi} = \dfrac {b+\sqrt b - a-\sqrt a} {b-a} = 1+ \dfrac {\sqrt b -\sqrt a}{b-a} = 1+ \dfrac {1}{\sqrt b +\sqrt a}}$

Λύνοντας ως προς $\xi$ θα βρούμε

$\displaystyle{\xi = \left ( \dfrac {\sqrt b +\sqrt a }{2}\right ) ^2 = \dfrac { a+b+ 2\sqrt {ab}} {4} = \dfrac {1}{2} \left ({ \dfrac {a+b}{2} +\sqrt {ab} \right ) }$ , όπως θέλαμε.

#3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 29, 2024 7:43 pm

Έχουμε ξαναδεί στο φόρουμ διάφορες ωραίες συναρτήσεις που το $\xi$ του Θ.Μ.Τ. είναι "καλαίσθητο", αλλά άντε να τις εντοπίσεις.

Τελικά βρήκα σχετικές παλαιότερες συζητήσεις

εδώ και εδώ και εκεί

όπου συζητάμε πλήθος σχετικών θεμάτων, συμπεριλαμβανομένης της περίπτωσης στο προηγούμενο ποστ.

Ο μέσος των μέσων

Ο μέσος των μέσων

Re: Ο μέσος των μέσων

Re: Ο μέσος των μέσων

Μέλη σε σύνδεση