Χαρακτηρισμός κυρτής

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη συνάρτηση

όπου $I\subseteq \mathbb{R}$ ανοικτό διάστημα.

Να δειχθεί ότι η

είναι κυρτή αν και μόνο αν

Για κάθε $x,y\in I,x\neq y$

είναι f(x)> f(y)+f'(y)(x-y)

Λάμπρος Κατσάπας · #2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 20, 2018 10:11 am
Εστω $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη συνάρτηση

όπου $I\subseteq \mathbb{R}$ ανοικτό διάστημα.

Να δειχθεί ότι η είναι κυρτή αν και μόνο αν

Για κάθε $x,y\in I,x\neq y$

είναι

Έστω

κυρτή. Η παράγωγός της είναι γνησίως αύξουσα (1).

Αν x>y

τότε από ΘΜΤ στο διάστημα (y,x)

υπάρχει $\xi$ ώστε ${f}'(\xi )=\frac{f(x)-f(y)}{x-y}$

και από την (1) παίρνουμε ${f}'(\xi )>{f}'(y )\Rightarrow \frac{f(x)-f(y)}{x-y}>{f}'(y )\Rightarrow f(x)>f(y)+{f}'(y )(x-y).$

Αν x<y

τότε από ΘΜΤ στο διάστημα (x,y)

υπάρχει $\xi$ ώστε ${f}'(\xi )=\frac{f(x)-f(y)}{x-y}$

και από την (1) παίρνουμε ${f}'(\xi )<{f}'(y )\Rightarrow \frac{f(x)-f(y)}{x-y}<{f}'(y )\Rightarrow f(x)>f(y)+{f}'(y )(x-y).$

Αντιστρόφως, έστω ότι για κάθε $x,y\in I,x\neq y$ ισχύει f(x)> f(y)+f'(y)(x-y)

. Τότε παίρνοντας $x_1,x_2\in I$ με

x_1<x_2

θα ισχύει (για x=x_2,y=x_1

) $f(x_2)> f(x_1)+f'(x_1)(x_2-x_1)\Rightarrow \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>f'(x_1).$

Για x=x_1,y=x_2

θα είναι $f(x_1)> f(x_2)+f'(x_2)(x_1-x_2)\Rightarrow \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}<f'(x_2).$

Συνδυάζοντας τις δύο τελευταίες έχουμε τελικά ότι ${f}'(x_2)<{f}'(x_2).$ Δείξαμε λοιπόν ότι $x_1<x_2\Rightarrow {f}'(x_2)<{f}'(x_2)$

και επομένως η παράγωγος είναι γνησίως αύξουσα. Άρα η

είναι κυρτή.

Χαρακτηρισμός κυρτής

Χαρακτηρισμός κυρτής

Re: Χαρακτηρισμός κυρτής

Μέλη σε σύνδεση