Από εξετάσεις...

M.S.Vovos · #1

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\ln \left ( e^{x}-x-1 \right )^{x}}$ .

(α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

.

Έστω, επιπλέον, η συνάρτηση $\displaystyle{\textup{g}(x)=\left\{\begin{matrix} f(x) &,x\neq 0 \\\\ 0 &,x=0 \end{matrix}\right.}$ .

(β) Να εξετάσετε αν ο παρακάτω ισχυρισμός είναι αληθής ή ψευδής, αιτιολογώντας σε κάθε περίπτωση την απάντησή σας:

«Η συνάρτηση $\textup{g}$ είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της και η γραφική της παράσταση δέχεται οριζόντια εφαπτομένη στο σημείο O(0,0)

.»
(γ) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση $\textup{g}$ είναι 1-1

και αντιστρέψιμη στο $\mathbb{R}$ .

#2

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 01, 2017 4:48 pm
Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\ln \left ( e^{x}-x-1 \right )^{x}}$ .

(α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης .

Έστω, επιπλέον, η συνάρτηση $\displaystyle{\textup{g}(x)=\left\{\begin{matrix} f(x) &,x\neq 0 \\\\ 0 &,x=0 \end{matrix}\right.}$ .

(β) Να εξετάσετε αν ο παρακάτω ισχυρισμός είναι αληθής ή ψευδής, αιτιολογώντας σε κάθε περίπτωση την απάντησή σας:

«Η συνάρτηση $\textup{g}$ είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της και η γραφική της παράσταση δέχεται οριζόντια εφαπτομένη στο σημείο .»
(γ) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση $\textup{g}$ είναι και αντιστρέψιμη στο $\mathbb{R}$ .

...μια γρήγορη ματιά στα (α), (β)

α) Για να ορίζεται η $\displaystyle{f(x)=\ln \left ( e^{x}-x-1 \right )^{x}}$ πρέπει και αρκεί ${{\left( {{e}^{x}}-x-1 \right)}^{x}}>0$

και με δεδομένο ότι ισχύει ${{e}^{x}}-x-1\ge 0,\,\,x\in R$ με την ισότητα μόνο για x=0

(…σύμφωνα με τις φετινές οδηγίες του ΙΕΠ μπορεί να χρησιμοποιείται σαν θεωρία χωρίς απόδειξη..)

είναι ${{\left( {{e}^{x}}-x-1 \right)}^{x}}>0$ όταν $x\in {{R}^{*}}$ επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

είναι το $A=(-\infty ,\,\,0)\cup (0,\,\,+\infty )$

β) Είναι $f(x)=x\ln \left( {{e}^{x}}-x-1 \right)$ και $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,x\ln \left( {{e}^{x}}-x-1 \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \left( {{e}^{x}}-x-1 \right)}{\frac{1}{x}}\underset{DLH}{\overset{\frac{\infty }{\infty }}{\mathop{=}}}\,$

$=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{{{e}^{x}}-1}{{{e}^{x}}-x-1}}{-\frac{1}{{{x}^{2}}}}=-\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}({{e}^{x}}-1)}{{{e}^{x}}-x-1}=0$

γιατί $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}}{{{e}^{x}}-x-1}\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x}{{{e}^{x}}-1}\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2}{{{e}^{x}}}=2$

και $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,({{e}^{x}}-1)=0$ επομένως η

είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της .

Τώρα εξετάζουμε αν είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο O(0,0)

παίρνοντας το

$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\ln \left( {{e}^{x}}-x-1 \right)=-\infty$

αφού $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,({{e}^{x}}-x-1)=0,\,\,\,{{e}^{x}}>x+1,\,\,x>0$ επομένως η

δεν είναι παραγωγίσιμη στο x=0

επομένως ο ισχυρισμός δεν είναι αληθής για την αφού η μία από τις δύο προτάσεις του ισχυρισμοί είναι ψευδής.

...ώρα για μάθημα τώρα...
Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

συνεχίζω το γ να ξεκουρασθεί και ο Βασίλης.
Προφανώς δεν είναι 1-1.

Είναι g(-1)=1

$g(1)=ln(e-2)\leq e-3< 0$

$g(100)=100ln(e^{100}-101)> 100ln(2^{100}-101)> 100$

Από Bolzano υπάρχει $c\in (1,100)$ με g(c)=1

Αφου

, $c\neq 1$

δεν είναι 1-1

Από εξετάσεις...

Από εξετάσεις...

Re: Από εξετάσεις...

Re: Από εξετάσεις...

Μέλη σε σύνδεση