Fermat - Παράγουσες - Εμβαδόν

M.S.Vovos · #1

Έστω οι αριθμοί $\alpha \in \mathbb{N}-\left \{ 0,1 \right \}$ , $\beta >0$ τέτοιοι, ώστε $\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }=\frac{2}{e}$ και η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=x^{\alpha }\beta ^{x}}$ , η οποία παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο $x_{1}=-2$ .

(α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

και τις τιμές των αριθμών $\alpha ,\beta$ .

(β) Να προσδιορίσετε τις παράγουσες της

και στη συνέχεια, να βρείτε εκείνη από τις παράγουσες, έστω

, που διέρχεται από το σημείο A(1,e)

.

(γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

, τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία $(\varepsilon ):y=ex$ .

Φιλικά,
Μάριος

#2

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 11, 2017 1:26 pm
Έστω οι αριθμοί $\alpha \in \mathbb{N}-\left \{ 0,1 \right \}$ , $\beta >0$ τέτοιοι, ώστε $\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }=\frac{2}{e}$ και η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=x^{\alpha }\beta ^{x}}$ , η οποία παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο $x_{1}=-2$ .

(α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και τις τιμές των αριθμών $\alpha ,\beta$ .

(β) Να προσδιορίσετε τις παράγουσες της και στη συνέχεια, να βρείτε εκείνη από τις παράγουσες, έστω , που διέρχεται από το σημείο .

(γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης , τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία $(\varepsilon ):y=ex$ .

Φιλικά,
Μάριος

...για τα δύο πρώτα ερωτήματα προς το παρόν...

(α) Η $\displaystyle{f(x)=x^{\alpha }\beta ^{x}}$ με $\alpha \in \mathbb{N}-\left \{ 0,1 \right \}$ , $\beta >0$ ορίζεται για κάθε $x\in R$ ,

και είναι παραγωγίσιμη ως γινόμενο παραγωγίσιμων με

${f}'(x)=a{{x}^{\alpha -1}}{{\beta }^{x}}+{{x}^{\alpha }}{{\beta }^{x}}\ln \beta ={{x}^{\alpha -1}}{{\beta }^{x}}(a+x\ln \beta )$

και αφού παρουσιάζει ακρότατο στο $x_{1}=-2$ σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat θα ισχύει ότι

${f}'(-2)=0\Leftrightarrow {{(-2)}^{\alpha -1}}{{\beta }^{-2}}(a-2\ln \beta )=0\Leftrightarrow \alpha =2\ln \beta$ (1) και αφού

$\frac{\alpha }{\beta }=\frac{2}{e}\Leftrightarrow \alpha =\frac{2\beta }{e}$ έχουμε από (1)

$\frac{2\beta }{e}=2\ln \beta \Leftrightarrow \beta =e\ln \beta$ δηλαδή το $\beta >0$

είναι ρίζα της εξίσωσης $x=elnx\Leftrightarrow x-elnx,x>0$

Τώρα θεωρώντας την αντίστοιχη συνάρτηση $g(x)=x-elnx,\,\,\,x>0$ είναι παραγωγίσιμη με

${g}'(x)=1-\frac{e}{x}=\frac{x-e}{x},\,\,\,x>0$ και ${g}'(x)=0\Leftrightarrow x=e,\,$ και ${g}'(x)>0\Leftrightarrow x>e,$ άρα η $\,\,g$

είναι γνήσια αύξουσα στο $\,\,(0,\,\,e]$ και ακόμη $\,\,{g}'(x)<0\Leftrightarrow x<e,$ άρα η $\,\,g$ είναι γνήσια φθίνουσα στο

$[e,\,\,\infty )$ επομένως η $\,\,g$ παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x=e

το

οπότε το

είναι μοναδική της ρίζα, άρα

$\beta =e$ και από $\alpha =\frac{2\beta }{e}$ προκύπτει ότι $\alpha =2$

(β) Για τον προσδιορισμό των παραγουσών της $f(x)={{x}^{2}}{{e}^{x}},\,\,x\in R$ χρησιμοποιώντας απαγορευμένα...

( παραγοντική με μεταβλητό άκρο και σταθερό κάτω , έστω το

εδώ, στο ολοκλήρωμα συνάρτηση $\int\limits_{0}^{x}{{{t}^{2}}{{e}^{t}}dt}$ …)

προκύπτουν από αυτήν οι $F(x)={{x}^{2}}{{e}^{x}}-2x{{e}^{x}}+2{{e}^{x}}-2+c,\,\,c\in R$ και αυτή που περνάει από το A(1,e)

είναι όταν $F(1)=e\Leftrightarrow e-2e+2e-2+c=e\Leftrightarrow c=2$ άρα η $F(x)={{x}^{2}}{{e}^{x}}-2x{{e}^{x}}+2{{e}^{x}},\,\,x\in R$

...έχει και συνέχεια...

...και μετά την διόρθωση του Μάριου....

(γ) Η ευθεία $(\varepsilon ):y=ex$ είναι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της $F(x)={{x}^{2}}{{e}^{x}}-2x{{e}^{x}}+2{{e}^{x}},\,\,x\in R$

στο σημείο της A(1,e)

και αφού είναι ${F}'(x)={{x}^{2}}{{e}^{x}}$ και άρα {F}'(1)=e

και η οποία περνάει από την αρχή των αξόνων.

Τώρα επειδή ${F}''(x)=({{x}^{2}}{{e}^{x}}{)}'=2x{{e}^{x}}+{{x}^{2}}{{e}^{x}}=x(2+x){{e}^{x}}>0\Leftrightarrow x\in (-\infty ,-2)\cup (0,\,\,+\infty )$

η

είναι κυρτή στο $[0,\,\,+\infty )$ επομένως η εφαπτομένη της στο A(1,e)

θα είναι κάτω από την γραφική της παράσταση στο διάστημα

$[0,\,\,+\infty )$ , επομένως το ζητούμενο εμβαδό είναι

$E=\int\limits_{0}^{1}{(F(x)-y)dx}=\int\limits_{0}^{1}{(({{x}^{2}}-2x+2){{e}^{x}}-ex)dx}=...=e-\frac{e}{2}$
(…με παραγοντική και αν οι πράξεις μου είναι οκ…)

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

M.S.Vovos · #3

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 11, 2017 1:26 pm
Έστω οι αριθμοί $\alpha \in \mathbb{N}-\left \{ 0,1 \right \}$ , $\beta >0$ τέτοιοι, ώστε $\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }=\frac{2}{e}$ και η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=x^{\alpha }\beta ^{x}}$ , η οποία παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο $x_{1}=-2$ .

(α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και τις τιμές των αριθμών $\alpha ,\beta$ .

(β) Να προσδιορίσετε τις παράγουσες της και στη συνέχεια, να βρείτε εκείνη από τις παράγουσες, έστω , που διέρχεται από το σημείο .

(γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης , τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία $(\varepsilon ):y=ex$ .

Φιλικά,
Μάριος

*Διόρθωσα το τελευταίο ερώτημα. Ήθελα να γράψω την εφαπτομένη της F και έγραψα καταλάθος την εφαπτομένη της f.

Fermat - Παράγουσες - Εμβαδόν

Fermat - Παράγουσες - Εμβαδόν

Re: Fermat - Παράγουσες - Εμβαδόν

Re: Fermat - Παράγουσες - Εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση