mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μαρ 22, 2022 9:00 pm**

(α) Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ συνάρτηση ώστε για κάθε ζεύγος A, B

υποσυνόλων του $\mathbb{R}$ ώστε $f \left ( A \cap B \right ) = f(A) \cap f(B)$ . Να δειχθεί ότι η

είναι

.

(β) Αν

είναι

στο $\mathbb{R}$ να αποδειχθεί ότι για όλα τα υποσύνολα A, B

του $\mathbb{R}$ ισχύει ότι $f \left ( A \cap B \right ) = f(A) \cap f(B)$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μαρ 22, 2022 11:21 pm**

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 22, 2022 9:00 pm
(α) Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ συνάρτηση ώστε για κάθε ζεύγος υποσυνόλων του $\mathbb{R}$ ώστε $f \left ( A \cap B \right ) = f(A) \cap f(B)$ . Να δειχθεί ότι η είναι .

(β) Αν είναι στο $\mathbb{R}$ να αποδειχθεί ότι για όλα τα υποσύνολα του $\mathbb{R}$ ισχύει ότι $f \left ( A \cap B \right ) = f(A) \cap f(B)$ .

α) Έστω

. Αφού $f(a) \in f(\{a\})$ και $f(a)= f(b) \in f(\{b\})$ , έχουμε ότι

$f(a) \in f(\{a\})\cap f(\{b\})= f(\{a\}\cap\{b\})$ . Έπεται ότι το $\{a\}\cap\{b\}$ είναι μη κενό, και άρα (επειδή μιλάμε για μονοσύνολα) έπεται $\{a\}= \{b\}$ , οπότε a=b

β) Προφανώς $f \left ( A \cap B \right ) \subseteq f(A) \cap f(B)$ . Δείχνουμε και το αντιστροφο περιέχεσθαι:

Αν $y \in f(A) \cap f(B)$ τότε $y \in f(A)$ και $y \in f(B)$ , οπότε υπάρχουν $a\in A,\, b\in B$ με y=f(a)