ΘΕΜΑ Δ

#1

...και ακόμη ένα θέμα Δ που απευθυνόταν σε περισσότερη ύλη με όρια βασισμένο σε δημοσίευση λίγο εμπλουτισμένο...

ΘΕΜΑ Δ

Δ1. Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f:R\to R}$ τέτοια ώστε να ισχύει $\displaystyle{x-1\le f(x)\le {{x}^{2}}+3x,\,\,x\in R}$ .

Να αποδείξετε ότι:

α) $\displaystyle{\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-2}$ και $\displaystyle{\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=1}$

β) $\displaystyle{\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\eta \mu (f(x)+2)}{\sqrt{-2f(x)}-2}=-2}$ και $\displaystyle{\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)[f(x)-2x+1]+x(x-1)}{x-1+\left| f(x) \right|}=1}$

Δ2. Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{g:R\to R}$ η οποία έχει την ιδιότητα

$\displaystyle{g(x+y)=g(x)+g(y)+2xy}$ για κάθε $\displaystyle{x,y\in R}$

και ακόμη ισχύει ότι

$\displaystyle{\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{g(x)-1}{x-2}=2013}$

α) Να δείξετε ότι $\displaystyle{\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,g(x)=1}$

β) Να βρείτε αν υπάρχει το $\displaystyle{\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,g(x)}$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

argiris95 · #2

KAKABASBASILEIOS έγραψε:...και ακόμη ένα θέμα Δ που απευθυνόταν σε περισσότερη ύλη με όρια βασισμένο σε δημοσίευση λίγο εμπλουτισμένο...

ΘΕΜΑ Δ

Δ1. Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f:R\to R}$ τέτοια ώστε να ισχύει $\displaystyle{x-1\le f(x)\le {{x}^{2}}+3x,\,\,x\in R}$ .

Να αποδείξετε ότι:

α) $\displaystyle{\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-2}$ και $\displaystyle{\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=1}$

Δ2. Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{g:R\to R}$ η οποία έχει την ιδιότητα

$\displaystyle{g(x+y)=g(x)+g(y)+2xy}$ για κάθε $\displaystyle{x,y\in R}$

και ακόμη ισχύει ότι

$\displaystyle{\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{g(x)-1}{x-2}=2013}$

α) Να δείξετε ότι $\displaystyle{\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,g(x)=1}$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

$\alpha)$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -1}(x-1)=-2}$ και $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -1}(x^2+3x)=-2}$
Άρα από το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει ότι $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -1}f(x)=-2}$

για x=-1+h

στην δοσμένη ανισότητα έχω $\displaystyle{h-2 \leq f(-1+h)\leq h^2+h-2}$ (1)
για x=-1

στην δοσμένη έχω ότι $\displaystyle{-2\leq f(-1) \leq -2}$ άρα f(-1)=-2

Στην (1) προσθέτω το -f(-1)

και έχω $\displaystyle{h \leq f(-1+h)-f(-1) \leq h^2+h}$ και στη συνέχεια διαιρώ με $h\neq 0$ . Έτσι προκύπτει ότι $\displaystyle{1\leq \frac{f(-1+h)-f(-1)}{h} \leq h+1}$ . Βάζοντας όριο στην ανισότητα έχω ότι
f'(-1)=1

$\beta$ ) $\displaystyle{lim_{x\rightarrow -1}\frac{sin(f(x)+2)}{\sqrt{-2f(x)}-2}=lim_{x\rightarrow -1}\frac{sin(f(x)+2)(\sqrt{-2f(x)}+2}{-2(f(x)+2)}=-\frac{4}{2}=-2}$

Δ2. $\alpha$ ) Θεωρώ την $\displaystyle{\phi(x)=\frac{g(x)-1}{x-2} \rightarrow g(x)=\phi(x)(x-2)+1}$ . Άρα $\displaystyle{lim_{x\rightarrow 2}g(x)=1}$

Έχω αφήσει κάποια ερωτήματα αφού δεν θυμάμαι τα τεχνάσματα που έμαθα μέσα στη χρονιά.

Αλγεβριστής · #3

KAKABASBASILEIOS έγραψε:...και ακόμη ένα θέμα Δ που απευθυνόταν σε περισσότερη ύλη με όρια βασισμένο σε δημοσίευση λίγο εμπλουτισμένο...

ΘΕΜΑ Δ

Δ1. Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f:R\to R}$ τέτοια ώστε να ισχύει $\displaystyle{x-1\le f(x)\le {{x}^{2}}+3x,\,\,x\in R}$ .

Να αποδείξετε ότι:

α) $\displaystyle{\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-2}$ και $\displaystyle{\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=1}$

β) $\displaystyle{\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\eta \mu (f(x)+2)}{\sqrt{-2f(x)}-2}=-2}$ και $\displaystyle{\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)[f(x)-2x+1]+x(x-1)}{x-1+\left| f(x) \right|}=1}$

Για να ολοκληρώσω και την λύση του Αργύρη, έχουμε

$\displaystyle{ \lim_{x \to -1} \frac{f(x)[f(x)-2x+1]+x(x-1)}{x-1+|f(x)|}=\lim_{x \to -1} \frac{f^2(x)-2f(x)x+f(x)+x^2-x}{x-1+|f(x)|}$ ,

ή
$\displaystyle{ \lim_{x\to -1} \frac{(f(x)-x)^2+(f(x)-x)}{x-1+|f(x)|}=\lim_{x\to -1} \frac{(f(x)-x)(f(x)-x+1)}{x-1+|f(x)|}}$ .

Επειδή, $\displaystyle{ \lim_{x \to -1} f(x)=-2<0}$ , η

θα είναι αρνητική σε μία περιοχή του

και συνεπώς, |f(x)|=-f(x)

, σε μία περιοχή του

.

Έτσι,

$\displaystyle{ \lim_{x \to -1} \frac{(f(x)-x)(f(x)-x+1)}{-(f(x)-x+1)} = \lim_{x \to -1} [x-f(x)]=-1+2=1}$ ,

που είναι και το ζητούμενο.

Αλγεβριστής · #4

KAKABASBASILEIOS έγραψε: β) Να βρείτε αν υπάρχει το $\displaystyle{\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,g(x)}$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Δεν το είδα αυτό.

Ναι υπάρχει, αφού

$\displaystyle{\lim_{x \to 4} g(x) = \lim_{y \to 2} g(2+y) = \lim_{y \to 2} [g(2)+g(y)+4y] = g(2) + \lim_{y \to 2} [g(y)+4y] = g(2)+9}$ .

#5

Αλγεβριστής έγραψε:
KAKABASBASILEIOS έγραψε: β) Να βρείτε αν υπάρχει το $\displaystyle{\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,g(x)}$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης
Δεν το είδα αυτό.

Ναι υπάρχει, αφού

$\displaystyle{\lim_{x \to 4} g(x) = \lim_{y \to 2} g(2+y) = \lim_{y \to 2} [g(2)+g(y)+4y] = g(2) + \lim_{y \to 2} [g(y)+4y] = g(2)+9}$ .

και μπορεί να υπολογισθεί ως εξής...

Ισχύει $\displaystyle{g(x)=g(\frac{x}{2}+\frac{x}{2})=g(\frac{x}{2})+g(\frac{x}{2})+\frac{{{x}^{2}}}{2}=2g(\frac{x}{2})+\frac{{{x}^{2}}}{2}}$

Τώρα $\displaystyle{\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,g(\frac{x}{2})\underset{\begin{smallmatrix} x\to 4 \\ u\to 2 \end{smallmatrix}}{\overset{u=\frac{x}{2}}{\mathop{=}}}\,\underset{u\to 2}{\mathop{\lim }}\,g(u)=1}$

Άρα $\displaystyle{\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,g(x)=2\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,g(\frac{x}{2})+\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}}{2}=2+8=10}$

Έτσι παρεμπιπτόντως μπορούμε να βρούμε από $\displaystyle{g(2)}$ αφού όπως έδειξε ο Αλγεβριστής

$\displaystyle{\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,g(x)=g(2)+9\Leftrightarrow 10=g(2)+9\Leftrightarrow g(2)=1}$

...είναι γεγονός ότι το ερώτημα αυτό δεν απαντήθηκε από τους περισσότερους μαθητές...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

ΘΕΜΑ Δ

ΘΕΜΑ Δ

Re: ΘΕΜΑ Δ

Re: ΘΕΜΑ Δ

Re: ΘΕΜΑ Δ

Re: ΘΕΜΑ Δ

Μέλη σε σύνδεση