Ένα θέμα από διαγώνισμα

tsiridim · #1

Καλησπέρα. Ένα ερώτημα από διαγώνισμα με καμιά δεκαριά αντίστοιχης δυσκολίας ερωτήματα.

Δίνεται συνάρτηση

για την οποία ισχύει:

$f^{2}\left(f\left(x \right) \right)+f\left(f^{2}\left(x \right))=2x^{2}, x\in R$

Να αποδειχτεί ότι υπάρχει $\xi \in (-1 , 1)$ τέτοιο, ώστε $f(\xi)=0$ .

Edit από Γενικούς Συντονιστές: έγινε διόρθωση του κώδικα LATEX.

STOPJOHN · #2

H συνάρτηση

είναι συνεχής ;

#3

Μπορείς να βάλεις και τα υπόλοιπα θέματα;

tsiridim · #4

STOPJOHN έγραψε:H συνάρτηση είναι συνεχής ;

Δεν το δίνει αλλά ίσως είναι παράληψη.

Tolaso J Kos · #5

tsiridim έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 06, 2011 12:54 am

Δίνεται συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει:

$f^{2}\left(f\left(x \right) \right)+f\left(f^{2}\left(x \right))=2x^{2}, x\in R$

Να αποδειχτεί ότι υπάρχει $\xi \in (-1 , 1)$ τέτοιο, ώστε $f(\xi)=0$ .

Επαναφορά.

Χρηστος · #6

πιθανά ............

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f στο R για την οποία ισχύουν :

$f^{2}\left(f\left(x \right) \right)+f\left(f^{2}\left(x \right))=2x^{2}, x\in R$ και f(-1)=-1 .

Α. Να αποδειχτεί ότι υπάρχει $\xi \in (-1 , 1)$ τέτοιο, ώστε $f(\xi)=0$ .

Β. Αν υπάρχει θ < 0 ώστε f(θ)=θ , να αποδείξετε ότι :
1. υπάρχει $\rho \in \left ( \theta ,\theta ^{2} \right )$ ώστε f(ρ)=0 .
2. για τον παραπάνω ρ ισχύει ρ=ξ ή ρ= -ξ

#7

Χρηστος έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 18, 2018 12:34 am
πιθανά ............

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f στο R για την οποία ισχύουν :

$f^{2}\left(f\left(x \right) \right)+f\left(f^{2}\left(x \right))=2x^{2}, x\in R$ και f(-1)=-1 .

Α. Να αποδειχτεί ότι υπάρχει $\xi \in (-1 , 1)$ τέτοιο, ώστε $f(\xi)=0$ .

Β. Αν υπάρχει θ < 0 ώστε f(θ)=θ , να αποδείξετε ότι :
1. υπάρχει $\rho \in \left ( \theta ,\theta ^{2} \right )$ ώστε f(ρ)=0 .
2. για τον παραπάνω ρ ισχύει ρ=ξ ή ρ= -ξ

...δίνω μια λύση με τις προσθήκες του Χρήστου....

Α. Είναι με όπου

το

στην ισότητα της υπόθεσης ${{f}^{2}}\left( f\left( -1 \right) \right)+f({{f}^{2}}\left( -1 \right))=2\Rightarrow {{f}^{2}}\left( -1 \right)+f(1)=2$

$\Rightarrow 1+f(1)=2\Rightarrow f(1)=1>0$ και τότε ισχύει $f\left( -1 \right)f(1)=-1<0$ και επειδή

συνεχής σύμφωνα με το Θ. Bolzano

υπάρχει $\xi \in (-1 , 1)$ τέτοιο, ώστε $f(\xi)=0$ .

Β. 1. . Είναι με όπου

το $\theta <0$ στην ισότητα της υπόθεσης

${{f}^{2}}\left( f\left( \theta \right) \right)+f({{f}^{2}}\left( \theta \right))=2{{\theta }^{2}}\Rightarrow {{f}^{2}}\left( \theta \right)+f({{\theta }^{2}})=2{{\theta }^{2}}$

$\Rightarrow {{\theta }^{2}}+f({{\theta }^{2}})=2{{\theta }^{2}}\Rightarrow f({{\theta }^{2}})={{\theta }^{2}}$

και τότε ισχύει $f\left( \theta \right)f({{\theta }^{2}})={{\theta }^{3}}<0$ και επειδή

συνεχής σύμφωνα με το Θ. Bolzano

υπάρχει $\rho \in (\theta ,\,{{\theta }^{2}})$ τέτοιο, ώστε $f(\rho )=0$ .

2. Είναι ${{f}^{2}}\left( f\left( \xi \right) \right)+f({{f}^{2}}\left( \xi \right))=2{{\xi }^{2}}\Rightarrow {{f}^{2}}\left( 0 \right)+f(0)=2{{\xi }^{2}}$

και ${{f}^{2}}\left( f\left( \rho \right) \right)+f({{f}^{2}}\left( \rho \right))=2{{\rho }^{2}}\Rightarrow {{f}^{2}}\left( 0 \right)+f(0)=2{{\rho }^{2}}$

επομένως ισχύει $2{{\rho }^{2}}=2{{\xi }^{2}}\Leftrightarrow \rho =\xi$ ή $\rho =-\xi$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Χρηστος · #8

Μπράβο Βασίλη ! ….

Ένα θέμα από διαγώνισμα

Ένα θέμα από διαγώνισμα

Re: Ένα θέμα από διαγώνισμα

Re: Ένα θέμα από διαγώνισμα

Re: Ένα θέμα από διαγώνισμα

Re: Ένα θέμα από διαγώνισμα

Re: Ένα θέμα από διαγώνισμα

Re: Ένα θέμα από διαγώνισμα

Re: Ένα θέμα από διαγώνισμα

Μέλη σε σύνδεση