Παραβολή και ημικύκλιο

KARKAR · #1

: Παραβολή και ημικύκλιο.png (13.6 KiB) Προβλήθηκε 741 φορές

Βρείτε τους τύπους της πράσινης παραβολής και του κόκκινου ημικυκλίου του σχήματος ,

αν για το σημείο

- στο οποίο τέμνονται οι δύο καμπύλες - ισχύει : TA=2TB

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 29, 2021 10:13 am
Παραβολή και ημικύκλιο.pngΒρείτε τους τύπους της πράσινης παραβολής και του κόκκινου ημικυκλίου του σχήματος ,

αν για το σημείο - στο οποίο τέμνονται οι δύο καμπύλες - ισχύει : .

: Παραβολή και ημικύκλιο.png (16.66 KiB) Προβλήθηκε 716 φορές

Φανερά η παραβολή έχει εξίσωση $\boxed{y=-x^2+4}$

$\displaystyle \frac{{AT}}{{TB}} = 2 = \frac{{AB}}{{AC}},$ άρα

είναι η εξωτερική διχοτόμος του τριγώνου ATB,

οπότε

είναι η εσωτερική
διχοτόμος και κατά συνέπεια $\displaystyle AD = 2DB \Leftrightarrow D\left( {\frac{2}{3},0} \right).$ Εύκολα τώρα $\displaystyle K\left( {\frac{{10}}{3},0} \right)$ και η εξίσωση του
ημικυκλίου είναι $\boxed{y = \sqrt {\frac{{64}}{9} - {{\left( {x - \frac{{10}}{3}} \right)}^2}} }$

#3

Με « άλλο μάτι ».

Η παραβολή έχει εξίσωση ${x^2} = 2p\left( {y - 4} \right)$ κι αφού επαληθεύεται από το $B\left( {2,0} \right)$ , προκύπτει : $\boxed{{x^2} = 2\left( { - \frac{1}{2}} \right)\left( {y - 4} \right) \Leftrightarrow y = f(x) = 4 - {x^2}}$ .

Επειδή : $\dfrac{{CB}}{{CA}} = 2 = \dfrac{{TA}}{{TB}}$ , η

είναι διχοτόμος στο $\vartriangle TAB$ και η τετράδα

$\left( {A,B\backslash D,C} \right)$ είναι αρμονική, έτσι $\dfrac{{DA}}{{DB}} = 2\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DA + DB = 4$ οπότε: $DB = \dfrac{4}{3} \Rightarrow OD = 2 - \dfrac{4}{3} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow D\left( {\dfrac{2}{3},0} \right)$ .

: Παραβολή και ημικύκλιο.png (27.81 KiB) Προβλήθηκε 690 φορές

Το ημικύκλιο που θέλω προφανώς είναι του Απολλώνιου κύκλου που για κάθε

σημείο του ( π.χ.

) ισχύει : $\dfrac{{MA}}{{MB}} = 2$ το κέντρο του $L\left( {\dfrac{{\dfrac{2}{3} + 6}}{2},0} \right) = L\left( {\dfrac{{10}}{3},0} \right)$ και

έχει εξίσωση : ${\left( {x - \dfrac{{10}}{3}} \right)^2} + {y^2} = {\left( {\dfrac{8}{3}} \right)^2}$ ενώ η συνάρτηση είναι : $\boxed{y = g\left( x \right) = \sqrt {{{\left( {\dfrac{8}{3}} \right)}^2} - {{\left( {x - \dfrac{{10}}{3}} \right)}^2}} }$ .

Παραβολή και ημικύκλιο

Παραβολή και ημικύκλιο

Re: Παραβολή και ημικύκλιο

Re: Παραβολή και ημικύκλιο

Μέλη σε σύνδεση