Βοήθεια

NikosB · #1

$f^{2}(x)=2f(x)+e^{x}$
Για κάθε

στο $\mathbb{R}$
ΝΔΟ f(x)>2

Δοκίμασα να την πάω με άτοπο και με την ανισότητα που προκύπτει με το τέλειο τετράγωνο αλλά δεν κατέληξα κάπου

#2

NikosB έγραψε:
$f^{2}(x)=2f(x)+e^{x}$
Για κάθε στο $\mathbb{R}$
ΝΔΟ
Δοκίμασα να την πάω με άτοπο και με την ανισότητα που προκύπτει με το τέλειο τετράγωνο αλλά δεν κατέληξα κάπου

Λύνουμε την δευτεροβάθμια -ως προς f(x)

- εξίσωση $f^2(x)-2\,f(x)-e^x=0$ και με δεδομένο ότι f(x)>0

, προκύπτει ότι...

Tolaso J Kos · #3

NikosB έγραψε:
$f^{2}(x)=2f(x)+e^{x}$
Για κάθε στο $\mathbb{R}$
ΝΔΟ
Δοκίμασα να την πάω με άτοπο και με την ανισότητα που προκύπτει με το τέλειο τετράγωνο αλλά δεν κατέληξα κάπου

Και χωρίς την επίλυση της δευτεροβάθμιας.
$\displaystyle{\begin{aligned} f^2(x) = 2f(x) + e^x &\Leftrightarrow f^2(x) - 2f(x) + 1 = e^x +1 \\ &\Leftrightarrow \left ( f(x) - 1 \right )^2 = e^x + 1 \\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\overset{g(x) = f(x) - 1}{\Leftarrow \! =\! =\! =\! =\! =\! \Rightarrow} g^2(x) = e^x + 1 \end{aligned}}$ Υποθέτουμε ότι η

έχει ρίζα , έστω x_0

. Τότε η τελευταία σχέση για x=x_0

δίδει άτοπο. Θέτουμε x=0

στην αρχική μας σχέση οπότε έχουμε:
$\displaystyle{\begin{aligned} f^2(0) = 2f(0) +1 &\Leftrightarrow f^2(0) - 2f(0) + 1 = 2 \\ &\Leftrightarrow \left ( f(0) - 1 \right )^2 =2 \\ &\Leftrightarrow \left | f(0) -1 \right | = \sqrt{2} \\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\overset{f(x)>0}{\Leftarrow \! =\! =\! =\! \Rightarrow} f(0) = \sqrt{2}+1 \end{aligned}}$ Άρα εφόσον δε μηδενίζεται και αφού $g(0)=\sqrt{2}>0$ έχουμε ότι η

διατηρεί θετικό πρόσημο. Άρα
$\displaystyle{g(x) = \sqrt{e^x+1}\Leftrightarrow f(x) - 1 = \sqrt{e^x+1} \Leftrightarrow f(x) = \sqrt{e^x+1} + 1 > 2}$ (προφανές)

sot arm · #4

Και χωρίς να βρεθεί η f:

$\displaystyle{|f(x)-1|=\sqrt{e^{x}+1}>1\Leftrightarrow f(x)>2 or f(x)<0}$

με το f(x)<0

να απορρίπτεται από υπόθεση.

Βοήθεια

Βοήθεια

Re: Βοήθεια

Re: Βοήθεια

Re: Βοήθεια

Μέλη σε σύνδεση