Μιγαδικοί 1

G.Tsikaloudakis · #1

το πιθανο 2o του 2010!
Η σωστή διατύπωση της άσκησης είναι:
Έστω
$\displaystyle{ \begin{array}{l} z,w \in C{\rm{ : z}} \cdot {\rm{w}} \ne {\rm{0 }}{\rm{, }}\left| {\rm{z}} \right| = \left| w \right|{\rm{ }}{\rm{,}} \\ {\rm{w = }}\left| {{\rm{z}}^{\rm{2}} } \right| + \bar z \cdot i \\ \end{array} }$

Να δείξετε ότι:
1 Ο w δεν είναι φανταστικός
2. Οι εικόνες των z,w ανήκονυν σε δύο τεμνόμενους κύκλους
3. $\displaystyle{ z \ne w }$

#2

Ποιός απο τους δύο δε θέλουμε να είναι φανταστικός;

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #3

Γιώργο και στο β) υπάρχει κενό στο ζητούμενο ...

makisman · #4

αν υποθέσουμε ότι ο w είναι φανταστικός τότε δεν φαινεται να βγαινει άτοπο . καταλήγω σε μια σχεση $x^{2}+y^{2}=y$ όπου z=x+yi η οποία μπορει να δίνει λύσεις ως προς (x,y)

Rania · #5

makisman έγραψε:αν υποθέσουμε ότι ο w είναι φανταστικός τότε δεν φαινεται να βγαινει άτοπο . καταλήγω σε μια σχεση $x^{2}+y^{2}=y$ όπου z=x+yi η οποία μπορει να δίνει λύσεις ως προς (x,y)

Ομως z*w διαφορο του μηδενος, αρα x,y διαφορα του μηδενος. Αν θεωρησουμε οτι ο w ειναι μιγαδικος, τοτε w=βi, αρα β διαφορο του μηδενος και χ^2,ψ^2 διαφορα του μηδενος.
Στη σχεση χ^2 + ψ^2 -ψ =0, ατοπο αφου εχουμε δειξει παραπανω οτι ολα ειναι διαφορα του μηδενος.

makisman · #6

Rania η εξίσωση που εγραψα εχει λύση οχι μόνο για χ=ψ=0.

Rania · #7

Εστω οτι ο w ειναι φανταστικος. Τοτε θα εχει τη μορφη w=βi.
Θετω z=x+yi, με x,y στο R.
$zw\neq 0\Leftrightarrow (x+yi)\beta i\neq 0 \Leftrightarrow x\beta i-\beta y\neq 0$ αρα $\beta \neq 0, x^{2}+y^{2}\neq 0$ και επισης $z\neq 0,w\neq 0$ αρα και $x,y\neq 0$ .
απο τη δοθεισα σχεση με αντικατασταση $w=x^{2}+y^{2}+(x+yi)i$ και τελικα, $x^{2}+y^{2}-y=0$ .
Ομως εχουμε δειξει οτι $y\neq 0\Leftrightarrow -y\neq 0$ και $x^{2}+y^{2}\neq 0$
Επομενως με προσθεση κατα μελη βγαινει αυτο που θελουμε, απ'οπου καταληγουμε σε ατοπο.

makisman · #8

Rania $-2\neq 3$ και
$2\neq -3$ όμως με προσθεση κατα μέλη

2-2=3-3

δεν ισχύει η πρόσθεση κατα μέλη για τη σχεση " $\neq$ "

Rania · #9

Ναι το ξερω, το σκεφτηκα μετα

Θα παραθεσω σε λιγο την (αυτη τη φορα σωστη) λυση.

Μάκης Χατζόπουλος · #10

Να βοηθήσω λίγο την παρέα...

α) Έστω w=bi με b μη μηδενικό πραγματικό αριθμό και z=x+yi, με x,y πραγματικούς αριθμούς τότε με αντικατάσταση από τις σχέσεις (;) βρίσκουμε x=y=b=0 που είναι άτοπο

(rania την μια σχέση με το ίσον κράτα την και πάρε την άλλη με τα ίσα μέτρα των μιγαδικών z, w...)

b) Αποδεικνύεται ότι:

$\displaystyle{\left| {z - i} \right| = 1}$
και όμοια $\displaystyle{\left| {w - 1} \right| = 1}$

γιατί, $\displaystyle{w = {\left| z \right|^2} + zi}$ άρα $\displaystyle{\left| w \right| = \left| {z \cdot \overline z + zi} \right|}$ δηλ. $\displaystyle{\left| w \right| = \left| z \right| \cdot \left| {\overline z + i} \right|}$ ή $\displaystyle{\left| z \right| = \left| z \right| \cdot \left| {\overline z + i} \right|}$
και επειδή το z δεν είναι μηδέν (;) προκύπτει $\displaystyle{\left| {\overline z + i} \right| = 1}$ και αν πάρουμε τον συζυγή μέσα στα μέτρα παίρνουμε $\displaystyle{\left| {z - i} \right| = 1}$

και εύκολα αποδεικνύονται ότι οι δύο κύκλοι των μιγαδικών τέμνονται γιατί ισχύει η σχέση R-p < MM' < R+p

Μάκης Χατζόπουλος · #11

γ) Τα σημεία τομής των δύο κύκλων είναι το (0,0) που εξαιρείται αφού $\displaystyle{z \cdot w \ne 0}$
και το Α(1,1)που και αυτό εξαιρείται γιατί τότε οι μιγαδικοί θα ήταν z=1+i και w=i, όμως zw=i(1+i)=...=0 που είναι άτοπο αφού $\displaystyle{z \cdot w \ne 0}$ , άρα τα σημεία τομής των δύο γ.τ εξαιρούνται, οπότε $\displaystyle{z \ne w}$

Rania · #12

Ναι την εβγαλα τη σχεση τελικα, με τον τροπο που ειπατε.
Εχω μια ερωτηση για το β. Αν αποδειξω οτι |z|=a οπου a ενας οποιοσδηποτε αριθμος, αυτο δεν σημαινει οτι ο z ανηκει σε κυκλο με Κ(0,0) και ρ=a? Αφου |w|=|z| ομως δεν θα ανηκει και ο w στον ιδιο κυκλο;
Στην ουσια "ταυτιζονται" οι γεωμετρικοι τοποι.. Θα δω τη λυση σας τωρα.

Μάκης Χατζόπουλος · #13

Και εμένα μου έκανε εντύπωση αυτό που αναφέρεις Rania και γι' αυτό προσπάθησα να βρω δύο άλλους κύκλους που να τέμνονται... Δεν ξέρω αν είναι σωστή η άσκηση αλλά σίγουρα αυτό που έγραψα ήθελε ως λύση...

Rania · #14

Ωραια λυση.
Δεν το θωρειτε καπως "δυνατο" για δευτερο θεμα;

Μάκης Χατζόπουλος · #15

Αν είναι σωστή η άσκηση γιατί όχι, αλλά δύσκολο θέμα για δεύτερο έτσι;

Rania · #16

Αυτο εννοουσα λεγοντας δυνατο

Καλο ειναι, αλλα αν δεις ενα τετοιο θεμα 2ο, αντε βρες κουραγιο μετα για 3ο και 4ο.

makisman · #17

έχετε δίκιο ,συνεχίζοντας πράξεις καταλήγουμε στο ότι y=0 => χ=0 => z=0 που είναι άτοπο.

δεν συνεχισα υπολογισμους ,βλέποντας ότι ειναι 2ο θεμα και α ερωτημα υπεθεσα οτι δεν θα ειναι τοσο τραβηγμένο και μάλλον ειχε καποια παράλειψη

#18

Η άσκηση μπάζει από παντού.........αλλά είναι μια καλή προσπάθεια με μερικές προσθήκες θα είναι Ο.Κ ..
Ερώτημα ii) αφού |z|= |w| = k τελειώσαμε ...
Ερώτημα iii) Π.χ. Αν z=1+i και w=1+i οι συνθήκες της εκφώνησης ικανοποιούνται και το τρίτο ερώτημα (Ν.Δ.Ο z#w) μένει μετέωρο.

Υ.Γ Μάκη την σχέση |w-1|=1 πως την έβγαλες(Να δω αν υπαρχει και αλλος τροπος).
Υ.Γ Ενα καλο ερωτημα ειναι να δειχτει οτι w=α+βi , z=β+αi

Μάκης Χατζόπουλος · #19

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε: Υ.Γ Μάκη την σχέση |w-1|=1 πως την έβγαλες (Να δω αν υπάρχει και άλλος τρόπος).

Με όμοιο τρόπο που έβγαλα και την άλλη σχέση δηλ. έχουμε διαδοχικά...

$\displaystyle{ w = \left| z \right|^2 + zi \Leftrightarrow w = \left| w \right|^2 + zi \Leftrightarrow w - \left| w \right|^2 = zi }$

άρα $\displaystyle{ \left| {w - \left| w \right|^2 } \right| = \left| {zi} \right| }$ ή $\displaystyle{ \left| w \right| \cdot \left| {1 - \overline w } \right| = \left| z \right| }$ οπότε $\displaystyle{ \left| w \right| \cdot \left| {1 - \overline w } \right| = \left| w \right| }$

Όμως $\displaystyle{ \left| w \right| \ne 0 }$ άρα $\displaystyle{ \left| {1 - \overline w } \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {w - 1} \right| = 1 }$

#20

Γιώργο:
Όταν κάνεις μια διόρθωση καλυτέρα να στέλνεις και νέο μήνυμα για να ειδοποιούμαστε για την αλλαγή, και να μην φαίνονται οι απαντήσεις μας εκτός θέματος .
Μετά νέα δεδομένα βγαίνει w=zi (που θα μπορούσε να είναι ερώτημα)
Επίσης στο ερώτημα ii) ας σημειώσουμε ότι αναφερόμαστε στην περίπτωση που οι z,w δεν να ανήκουν σε κύκλο με κέντρο το Ο(0 ,0) .

Μιγαδικοί 1

Μιγαδικοί 1

Re: Μιγαδικοί 1

Re: Μιγαδικοί 1

Re: Μιγαδικοί 1

Re: Μιγαδικοί 1

Re: Μιγαδικοί 1

Re: Μιγαδικοί 1

Re: Μιγαδικοί 1

Re: Μιγαδικοί 1

Re: Μιγαδικοί 1

Re: Μιγαδικοί 1

Re: Μιγαδικοί 1

Re: Μιγαδικοί 1

Re: Μιγαδικοί 1

Re: Μιγαδικοί 1

Re: Μιγαδικοί 1

Re: Μιγαδικοί 1

Re: Μιγαδικοί 1

Re: Μιγαδικοί 1

Re: Μιγαδικοί 1

Μέλη σε σύνδεση