μιγαδικοί+γεωμετρια 4

#1

Τα άπειρα σημεία $\displaystyle{ M_K}$ του επιπέδου είναι εικόνες των μιγαδικών $\displaystyle{z_k}$ . Αν ισχύει : $\displaystyle{|z_m-z_n| \in N,\forall m,n \in N}$ τότε να δείξετε ότι τα $\displaystyle{ M_K}$ είναι όλα συνευθειακά

#2

Πρόκειται για γνωστό θεώρημα των Erdős–Anning.

Έστω $\displaystyle{S}$ το σύνολο των σημείων με τη δοσμένη ιδιότητα. Υποθέτουμε ότι το $\displaystyle{S}$ περιέχει τρία μη συνευθειακά σημεία A, B, C.

Θέτουμε $\displaystyle{d = \max \left\{ {AB, BC} \right\}.}$ Από την υπόθεση, ο $\displaystyle{d}$ είναι θετικός ακέραιος.

Έστω τυχαίο σημείο $\displaystyle{M \in S.}$ Από την τριγωνική ανισότητα έχουμε ότι $\displaystyle{\left| {MA - MB} \right| \le AB \le d,}$ δηλαδή

$\displaystyle{\left| {MA - MB} \right| \in \left\{ {0,1,2, \ldots ,d} \right\}.}$

Αυτό, όμως, σημαίνει ότι το σημείο $\displaystyle{M}$ ανήκει στη μεσοκάθετο του τμήματος $\displaystyle{AB}$ ή σε μια από τις $\displaystyle{d}$ υπερβολές με εστίες $\displaystyle{A, B}$ και σταθερή διαφορά $\displaystyle{d \ge 1.}$

Όμοια, βρίσκουμε ότι το σημείο $\displaystyle{M}$ ανήκει στη μεσοκάθετο του τμήματος $\displaystyle{BC}$ ή σε μια από τις $\displaystyle{d}$ υπερβολές με εστίες $\displaystyle{B, C}$ και σταθερή διαφορά $\displaystyle{d \ge 1.}$

Μια υπερβολή με εστίες $\displaystyle{A, B}$ μπορεί να τέμνει μια υπερβολή με εστίες $\displaystyle{B, C}$ σε

το πολύ σημεία (οι υπερβολές είναι διαφορετικές γιατί έχουν διαφορετικό μεγάλο άξονα). Άρα, τα σημεία τομής των γραμμών στις οποίες ανήκει το σημείο $\displaystyle{M}$ είναι το πολύ $\displaystyle{4{\left( {d + 1} \right)^2}.}$ Έτσι, το σύνολο $\displaystyle{S}$ έχει το πολύ $\displaystyle{4{\left( {d + 1} \right)^2}}$ στοιχεία, πράγμα άτοπο.

Ώστε, όλα τα σημεία του συνόλου $\displaystyle{S}$ είναι συνευθειακά.

μιγαδικοί+γεωμετρια 4

μιγαδικοί+γεωμετρια 4

Re: μιγαδικοί+γεωμετρια 4

Μέλη σε σύνδεση