Ο πολλαπλασιασμός του ξεχασιάρη μαθητή

#1

Ένας μαθητής έγραψε στον πίνακα τον αριθμό

. Μετά τον πολλαπλασίασε είτε με το

είτε με το

, αλλά ξέχασε με ποιο από τα δύο. Στη συνέχεια πολλαπλασίασε το αποτέλεσμα είτε με το

είτε με το

, και επανέλαβε αυτήν την διαδικασία πολλές φορές, πάντα ξεχνώντας ποιος ήταν ο εκάστοτε πολλαπλασιαστής.
- Δείξτε ότι ο αριθμός $2^{90}3^{20}5^{80}$ αποκλείεται να είναι κάποιο από τα γινόμενα που βρήκε.
- Επίσης, ο μαθητής παρατήρησε ότι (ακριβώς) ένας από τους εμφανιζόμενους εκθέτες του $2^{90}3^{20}5^{80}$ είναι λάθος. Ποιος μπορεί να είναι αυτός; Μπορείτε να προτείνετε διόρθωση; (Υπάρχουν τρεις εκδοχές).

kkala · #2

Έστω ότι ο μαθητής πολλαπλασιάζει τη μονάδα n φορές επί 6 και m φορές επί 10 (m, n φυσικοί, αλλά ο ένας μπορεί να είναι και 0). Προκύπτει ο αριθμός $6^{n}10^{m}$ . Αναλύοντας τα 6 και 10 σε γινόμενα πρώτων, ο προηγούμενος αριθμός ισούται με $2^{n+m}3^{n}5^{m}$ . Ο εκθετης n+m

προκύπτει διότι το 2 είναι πρώτος παράγοντας και του 6 και του 10. Αναγκαστικά λοιπόν ο εκθέτης του 2 είναι άθροισμα των εκθετών του 3 και του 5.

1. Ο $2^{90}3^{20}5^{80}$ δεν εκπληρώνει την παραπάνω συνθήκη, άρα αποκλείεται να είναι αποτέλεσμα πράξεων του ξεχασιάρη μαθητή.

2. Ποιός από τους εκθέτες παρατηρήθηκε λανθασμένος από τον μαθητή;
2.1 Αν είναι λάθος ο 90 ( $2^{90}$ ) , αυτός πρέπει να διορθωθεί σε 100. Διότι (n+m)=20+80=100

(*).
2.2 Αν είναι λάθος ο 20 ( $3^{20}$ ) , αυτός πρέπει να διορθωθεί σε 10. Διότι n=(n+m)-m=90-80=10

2.3 Αν είναι λάθος ο 80 ( $5^{80}$ ) , αυτός πρέπει να διορθωθεί σε 70. Διότι m=(m+n)-n=90-20=70

Βέβαια καθεμια από τις διορθώσεις αντιστοιχεί σε διαφορετική διαδικασία πολλαπλασιασμών του ξεχασιάρη μαθητή.
(*) Σημ (n+m)

παριστάνει τον εκθέτη του 2.

Ο πολλαπλασιασμός του ξεχασιάρη μαθητή

Ο πολλαπλασιασμός του ξεχασιάρη μαθητή

Re: Ο πολλαπλασιασμός του ξεχασιάρη μαθητή

Μέλη σε σύνδεση