Δύο οδοιπόροι στον ίδιο τόπο, την ίδια στιγμή

[Mihalis_Lambrou]

.

Δύο μονοπάτια.png (35.14 KiB) Προβλήθηκε 299 φορές

.
Ένα οδοιπόρος περπατά κατά μήκος του πράσινου μονοπατιού, στο οποίο οι σταθμοί είναι σημειωμένοι με κουκκίδες. Ξεκινά από το σημείο που λέει "Αρχή" και κινείται από σταθμό σε γειτονικό σταθμό με οποιαδήποτε σειρά επιθυμεί (ανάκατα, ακόμη και με επιστροφή στην "Αρχή", αν το θελήσει), και δεν σταματά ποτέ για ξεκούραση. Όμοια, ένας δεύτερος οδοιπόρος χρησιμοποιεί το κόκκινο μονοπάτι με παρόμοιο τρόπο. Οι δυο τους ξεκινούν ταυτόχρονα από την αντίστοιχη "Αρχή", και φτάνουν σε σταθμούς, ταυτόχρονα.
Υπάρχει περίπτωση να βρεθούν οι οδηπόροι στον ίδιο σταθμό, την ίδια στιγμή κατά την πορεία τους; Αν ναι, σε ποιον; Αν όχι, να το τεκμηριώσετε.

(Σχόλιο: Οι ασκήσεις που αναρτώ στο mathematica είναι απολύτως δικής μου κατασκευής, εκτός αν δηλώσω ρητά το αντίθετο. Μεταξύ των ασκήσεων των Διασκεδαστικών Μαθηματικών που έχω κατασκευάσει, θεωρώ την συγκεκριμένη άσκηση ως μία από τις ωραιότερες κατασκευές μου. Την είχα βάλει και στον Διαγωνισμό Καγκουρό για μαθητές Α' και Β' Γυμνασίου).

[Mihalis_Lambrou]

.
Έκανα διόρθωση στην εκφώνηση της άσκησης. Τώρα είναι σωστή.
Συγνώμη για την ταλαιπωρία. Έχω δύο εκδοχές της άσκησης, και από λάθος μου φόρτωσα τα λόγια της μιάς αλλά το σχήμα της άλλης.

Ευχαριστώ τον αρψ2400 που μου επεισήμανε σε ΠΜ ότι κάτι δεν πάει καλά με την εκφώνηση. Είχε δίκιο.

[Mihalis_Lambrou]

Επαναφορά.

[fmak65]

Κάθε βήμα μπρος - πίσω περιέχει ζυγό αριθμό βημάτων. Επίσης και οι δύο βρόγχοι περιέχουν ζυγό αριθμό βημάτων.
Οπότε αν φτάνουν ο καθένας στον κάθε κόμβο σε μονό ή ζυγό αριθμό βημάτων, τότε θα ξαναβρίσκονται στον ίδιο κόμβο μετά από ζυγό αριθμό βημάτων. Δηλαδή αν φτάνουν στον ίδιο κόμβο σε μονό αριθμό βημάτων ή αντίστοιχα σε ζυγό , τότε θα υπάρχει η δυνατότητα να βρεθούν κάποια στιγμή σε αυτόν. Αλλιώς δεν θα βρεθούν ποτέ.
π.χ στον κόμβο Ε ο πράσινος φτάνει σε 3 βήματα οπότε θα ξαναφτάσει σε μονό αριθμό βημάτων, ενώ ο κόκκινος σε 2 βήματα, άρα θα ξαναφτάσει σε ζυγό αριθμό βημάτων. Δηλαδή δεν θα βρεθούνε ποτέ ταυτόχρονα στον κόμβο Ε.
Όμοια και στους άλλους κόμβους φτάνουν αντίστοιχα : Α 3 & 6 βήματα, Β 5 & 6 βήματα, Γ 6 & 5 βήματα , Δ 5 & 4 βήματα.
Άρα δεν θα βρεθούν ποτέ στον ίδιο κόμβο.

[Mihalis_Lambrou]

.
Γράφω μία λύση. Είναι στο ίδιο μήκος κύματος με του Φώτη, αλλά λόγω σχήματος ενδεχομένως να είναι λίγο πιο εποπτική:
.

Δύο μονοπάτια 2.png (53.71 KiB) Προβλήθηκε 108 φορές

.
Αφού οι οδοιπόροι φτάνουν συγχρόνως στους σταθμούς σημαίνει ότι κάθε στιγμή που φτάνουν σε κάποιον σταθμό, θα έχουν κάνει το ίδιο πλήθος στάσεων. Ειδικά, αν οι δύο οδοιπόροι συναντηθούν σε κάποιον σταθμό, σημαίνει ότι είτε και οι δύο θα έχουν κάνει άρτιο πλήθος στάσεων είτε και οι δύο θα έχουν κάνει περιττό πλήθος. Η αριστερή εικόνα δείχνει με πράσινες κουκκίδες όλους τους πιθανούς σταθμούς όπου θα μπορούσε να φτάσει ο οδοιπόρος του πράσινου μονοπατιού μετά από άρτιο πλήθος στάσεων. Επίσης, δείχνει με κόκκινες κουκκίδες όλους τους πιθανούς σταθμούς όπου θα μπορούσε να φτάσει ο οδοιπόρος του κόκκινου μονοπατιού μετά από άρτιο πλήθος στάσεων. Παρατηρούμε ότι καμία κουκκίδα δεν είναι ταυτόχρονα πράσινη και κόκκινη, οπότε οι οδοιπόροι σίγουρα δεν θα συναντηθούν μετά από άρτιο πλήθος στάσεων. Όμοια, το σχήμα δεξιά απεικονίζει τις πιθανές θέσεις μετά από περιττό πλήθος στάσεων. Παρατηρούμε ότι οι οδοιπόροι δεν θα συναντηθούν μετά από περιττό πλήθος στάσεων. Συμπεραίνουμε ότι οι οδοιπόροι δεν θα συναντηθούν ποτέ.