Παντοιοτρόπως

KARKAR · #1

Βρείτε - με οποιονδήποτε τρόπο - την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης : $f(x)=2x^2-x\sqrt{x^2+1}+1$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Απρ 05, 2024 7:53 pm
Βρείτε - με οποιονδήποτε τρόπο - την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης : $f(x)=2x^2-x\sqrt{x^2+1}+1$

$\displaystyle f'(x) = \frac{{4x\sqrt {{x^2} + 1} - 2{x^2} - 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.$ Η παράγωγος μηδενίζεται όταν

$\displaystyle 12{x^4} + 12{x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} - \frac{1}{2}$ και παρουσιάζει ελάχιστη τιμή

$\boxed{{f_{\min }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}}$ για $\boxed{x = \sqrt {\frac{{\sqrt 3 }}{3} - \frac{1}{2}}}$

Είμαι σίγουρος, όμως, ότι κάτι άλλο έχει στο μυαλό του ο Θανάσης.

ksofsa · #3

Θέτουμε $x=\dfrac{e^{y}-e^{-y}}{2}=sinhy$ (κάθε πραγματικός αριθμός αναπαρίσταται με αυτή τη μορφή, διότι η αντίστοιχη συνάρτηση είναι επί στο $\mathbb{R}$ ),

και μετά τις πράξεις η συνάρτηση γράφεται:

$\dfrac{e^{2y}+3e^{-2y}}{4}$ , που είναι $\geq \dfrac{2\sqrt{3}}{4}= \dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

Ισότητα για $e^{2y}=3e^{-2y}\Leftrightarrow y=\dfrac{ln3}{4}$ .

KARKAR · #4

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 06, 2024 9:06 am
Είμαι σίγουρος, όμως, ότι κάτι άλλο έχει στο μυαλό του ο Θανάσης.

Γιώργο δεν φαντάζομαι να νομίζεις ότι είχα κατά νου την εκπληκτική σύλληψη του Κώστα

: Πλευρολογία.png (16.36 KiB) Προβλήθηκε 860 φορές

Σύμφωνα με την λύση σου εδώ , η ακτίνα

δίνεται από την συνάρτηση : $r(x)=\dfrac{x\sqrt{x^2+1}}{x+\sqrt{x^2+1}}$

ή : $r(x)=x(x^2-x\sqrt{x^2+1}+1) , x>0$ . Δεν θα αναρωτηθούμε αν είναι γνησίως αύξουσα ;

Λοιπόν : $r'(x)=\dfrac{2x^2-x\sqrt{x^2+1}+1}{x^2+x\sqrt{x^2+1}+1} > 0$ . Θεώρησα ότι η εύρεση του ελαχίστου

του αριθμητή έχει την πλάκα της , ( καμμιά φορά με ψάρεμα σε θολά νερά "πιάνεις" λαβράκια )

Παντοιοτρόπως

Παντοιοτρόπως

Re: Παντοιοτρόπως

Re: Παντοιοτρόπως

Re: Παντοιοτρόπως

Μέλη σε σύνδεση