Παιγνίδι με κέρματα

[Μπάμπης Στεργίου]

Καλησπέρα !

Σε έναν διαγωνισμό στην Αυστραλία διαβάζω το εξής πρόβλημα:

Σε μια σειρά υπάρχουν κέρματα των λεπτών.

Αντικαθιστούμε κάθε δεύτερο κέρμα με κέρμα των λεπτών, κάθε τρίτο κέρμα από αυτά που βλέπουμε με κέρμα των λεπτών, κάθε

τέταρτο κέρμα με κέρμα των λεπτών και κάθε πέμπτο κέρμα με κέρμα του ευρώ.

Πόσο είναι η αξία των χρημάτων(όλων των κερμάτων) που βρίσκονται στο τέλος στη σειρά αυτή ;

Αν και υπάρχει μια λύση(απάντηση : ευρώ), έχω δυσκολίες στην κατανόηση και στην εύρεση μιας απλής εξήγησης.

Θυμίζει κάτι παρόμοιο ίσως που είδα εδώ τελευταία, θα το ψάξω.

[Demetres]

Καλημέρα Μπάμπη.

Φαντάζομαι για τους μαθητές Γυμνασίου η αναμενόμενη λύση είναι η πιο κάτω:

Τα νομίσματα αξίας 1 ευρώ είναι στις θέσεις που είναι πολλαπλάσια του . Έχουμε τέτοια.

Τα νομίσματα αξίας 50 λεπτών είναι στις θέσεις που είναι πολλαπλάσια του αλλά όχι του . Δηλαδή του αλλά όχι του . Έχουμε τέτοια.

Τα νομίσματα αξίας 20 λεπτών είναι στις θέσεις που είναι πολλαπλάσια του αλλά όχι του ούτε του . Έχουμε πολλαπλάσια του . Αφαιρούμε τα πολλαπλάσια των και , αφαιρούμε τα πολλαπλάσια των και αλλά προσθέτουμε πίσω τα πολλαπλάσια των και . Σύνολο .

Αν επαναλάβω την ίδια διαδικασία για τα νομίσματα που βρίσκονται στις άρτιες θέσεις θα βρω νομίσματα του 1 ευρώ, των 50 λεπτών και των 20 λεπτών. (Σε κάθε πράξη κάνω μια επιπλέον διαίρεση με το και είμαι τυχερός που η απάντηση βγαίνει ακριβώς και δεν χρειάζεται να σκεφτώ αν θα πρέπει να προσθέσω ή να αφαιρέσω αυτό που θα περίσσευε αν είχα κάπου διαίρεση με περιττό αριθμό.)

Συνολικά έχω από αυτά τα νομίσματα σε άρτιες θέσεις. Στις υπόλοιπες άρτιες θέσεις έχω νομίσματα των λεπτών.

Τελικά έκανα βιαστικά τις δύο πιο πάνω παραγράφους. Αν κάνω σωστά τη διαδικασία για τις άρτιες θέσεις θα βρω νομίσματα του ενός ευρώ όπως πριν. Μετά όμως έχω λάθος διότι και τα νομίσματα των λεπτών βρίσκονται στις άρτιες θέσεις. Για τα νομίσματα των λεπτών στις άρτιες θέσεις ψάχνουμε τα πολλαπλάσια του αλλά όχι του ούτε του . Η σωστή απάντηση είναι

Συνολικά λοιπόν νομίσματα σε άρτιες θέσεις και μένουν νομίσματα των λεπτών.


Τέλος στις υπόλοιπες θέσεις έχω 24 νομίσματα των 10 λεπτών. Εδώ το σωστό είναι

Συνολική αξία ευρώ. (Μπάμπη, αυτή πρέπει να είναι η σωστή απάντηση.) Εδώ το σωστό είναι όπως ήταν η απάντηση που έδωσε ο Μπάμπης

Για πιο μεγάλα παιδιά μπορούμε να πούμε και το εξής:

Όπως πριν έχουμε νομίσματα του ενός ευρώ. Για τα νομίσματα των λεπτών πρέπει να βρούμε το πλήθος των αριθμών που είναι ισότιμοι με αλλά όχι με . Δηλαδή με και . Από Κινέζικο Θεώρημα έχουμε επιτρεπόμενα υπόλοιπα modulo και επειδή τότε έχουμε τέτοια νομίσματα. Με τον ίδιο τρόπο για τα λεπτά έχουμε μία επιλογή modulo , τρεις modulo και τέσσερις modulo . Σύνολο επιλογές modulo άρα και νομίσματα. Για τα νομίσματα των λεπτών πρέπει να βάλουμε τις συνθήκες διαιρετότητας του και του μαζί. Πρέπει να έχουμε . Δηλαδή μία επιλογή. Έχουμε επίσης δύο επιλογές modulo και τέσσερις modulo για να πάρουμε πάλι επιλογές modulo και νομίσματα συνολικά. Λάθος από κεκτημένη ταχύτητα. Η σωστή απάντηση εδώ είναι βέβαια επιλογές και νομίσματα Μετά ολοκληρώνουμε τη λύση όπως πιο πάνω.

[Μπάμπης Στεργίου]

Δημήτρη, ευχαριστώ !

Προχθές με το Σταύρο που κοιτάζαμε σε έναν καφέ ( θα πάμε και στο φλυτζάνι όπως μα βλέπω !!!), κάτι τέτοιο σκεφτήκαμε εναλλακτικά.

Για ενημέρωση, στο βιβλίο αριθμεί τα κέρματα μέχρι το 30 και βλέπει τι αξία θα πάρει το καθένα.
Λέει μετά ότι(...reverse) στο ) θα έχουμε ίδια συμπεριφορά στον αριθμό των αξιών.Αλλά αυτός ο όρος ''reverse'' μας αποσυντονίζει τελείως .Ίσως να είναι και λάθος ή έχει άλλη έννοια.

Εμείς σκεφτήκαμε ότι αν δούμε τι γίνεται μέχρι το 60 τελειώνουμε στην ουσία, αλλά μείναμε κάπου εκεί, περιμένοντας και τη δική σας άποψη.
Θα ελέγξω και την απάντηση, γιατί το σαν να το είδα στις πιθανές απαντήσεις. Θα σας πω τι ακριβώς γράφει.

Σε χαιρετώ και ευχαριστώ.

[Demetres]

Μπάμπη, αυτό που συμβαίνει είναι ότι η αξία του νομίσματος είναι ίδια με την αξία του νομίσματος εκτός από δύο περιπτώσεις:

Αν το έχει αξία λεπτά τότε το έχει αξία λεπτά, και αν το έχει αξία λεπτά τότε το έχει αξία λεπτά.

Επειδή λοιπόν στο διάστημα με έχουμε νομίσματα των λεπτών και των , το ίδιο θα συμβαίνει και στο διάστημα με κ.τ.λ.

[Μπάμπης Στεργίου]

Μπάμπη, αυτό που συμβαίνει είναι ότι η αξία του νομίσματος είναι ίδια με την αξία του νομίσματος εκτός από δύο περιπτώσεις:

Αν το έχει αξία λεπτά τότε το έχει αξία λεπτά, και αν το έχει αξία λεπτά τότε το έχει αξία λεπτά.

Επειδή λοιπόν στο διάστημα με έχουμε νομίσματα των λεπτών και των , το ίδιο θα συμβαίνει και στο διάστημα με κ.τ.λ.

Δημήτρη, καλή βδομάδα !

Ούτε που θα το σκεφτόμουν !

Σου στέλνω με πμ το αγγλικό πρωτότυπο.

[Demetres]

Μπάμπη όντως είναι τελικά η σωστή απάντηση. Είχα ένα λογικό λάθος στη μία λύση και ένα αριθμητικό λάθος στην άλλη που δεν με βοήθησε να δω την σωστή απάντηση.

Έκανε τις διορθώσεις στην ανάρτησή μου. Με κόκκινο τα λανθασμένα και με μπλε το τι έπρεπε να γράψω.