mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 28, 2020 9:36 pm**

Για τα

που ισχύει $\frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ να αποδείξεις ότι για περιττό

ισχύει:
$\frac{1}{a^n+b^n+c^n}=\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 28, 2020 10:14 pm**

chris_gatos έγραψε: ↑
Τρί Απρ 28, 2020 9:36 pm
Για τα που ισχύει $\frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ να αποδείξεις ότι για περιττό
ισχύει:
$\frac{1}{a^n+b^n+c^n}=\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}$

Χρήστο, γνωστό λήμμα δεν είναι αυτό; Κάπου το χω ξανά δει. Δίδω μία λύση που έχω δει κάποτε ...!

Από τη σχέση $\displaystyle{\frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$ έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c} &\Rightarrow \frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{1}{a+b+c} \end{aligned}}$
Οπότε,

$\displaystyle{\begin{aligned} (a+b+c)(ab+bc+ac)=(a+b)(b+c)(a+c)+abc & \Rightarrow (a+b)(b+c)(a+c)=0 \end{aligned}}$
Χωρίς βλάβη της γενικότητας έστω a=-b

και επειδή

περιττός είναι $\displaystyle{a^n + b^n = 0}$ οπότε $\displaystyle{\frac{1}{a^n} + \frac{1}{b^n}=0}$ . Το αποτέλεσμα έπεται.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 28, 2020 10:27 pm**

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Απρ 28, 2020 10:14 pm
Χρήστο, γνωστό λήμμα δεν είναι αυτό; Κάπου το χω ξανά δει. Δίδω μία λύση που έχω δει κάποτε ...!

Φυσικά και είναι γνωστό λήμμα.
Απλά δεν κατανοώ το παρακάτω βήμα: (ίσως είναι κάποια ταυτότητα που δε γνωρίζω)

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Απρ 28, 2020 10:14 pm

Οπότε, $\displaystyle{\begin{aligned} (a+b+c)(ab+bc+ac)=(a+b)(b+c)(a+c)+abc & \Rightarrow (a+b)(b+c)(a+c)=0 \end{aligned}}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 28, 2020 10:34 pm**

Πάντως on the other hand, η σχέση γράφεται $\displaystyle{\frac{1}{{a + b + c}} - \frac{1}{a} = \frac{{b + c}}{{bc}}\;\dot \eta \; - \frac{{b + c}}{{a\left( {a + b + c} \right)}} = \frac{{b + c}}{{bc}},}$ οπότε b=-c