Ημίτονο γωνίας διανυσμάτων

Tolaso J Kos · #1

Αν $\vec{\alpha}$ , $\vec{\beta}$ δύο μη μηδενικά διανύσματα και $\theta$ η γωνία αυτών, να δειχθεί ότι

$\displaystyle{\sin \theta = \frac{\left | \det \left ( \vec{\alpha}, \vec{\beta} \right ) \right |}{\left | \vec{\alpha} \right | \left | \vec{\beta} \right |}}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 18, 2024 12:05 am
Αν $\vec{\alpha}$ , $\vec{\beta}$ δύο μη μηδενικά διανύσματα και $\theta$ η γωνία αυτών, να δειχθεί ότι

$\displaystyle{\sin \theta = \frac{\left | \det \left ( \vec{\alpha}, \vec{\beta} \right ) \right |}{\left | \vec{\alpha} \right | \left | \vec{\beta} \right |}}$

$\displaystyle \overrightarrow \alpha = (\kappa ,\lambda ),\overrightarrow \beta = (\mu ,\nu ).$ Είναι γνωστή η ταυτότητα:

$\displaystyle ({\kappa ^2} + {\lambda ^2})({\mu ^2} + {\nu ^2}) - {(\kappa \mu + \lambda \nu )^2} = {(\kappa \nu - \lambda \mu )^2}$

Αλλά, $\displaystyle \left| {\overrightarrow \alpha } \right| = \sqrt {{\kappa ^2} + {\lambda ^2}} ,\left| {\overrightarrow \beta } \right| = \sqrt {{\mu ^2} + {\nu ^2}} ,\overrightarrow \alpha \cdot \overrightarrow \beta = \kappa \lambda + \mu \nu ,\left| {\det \left( {\overrightarrow \alpha ,\overrightarrow \beta } \right)} \right| = \left| {\kappa \nu - \lambda \mu } \right|$

κι επειδή $\displaystyle \overrightarrow \alpha \cdot \overrightarrow \beta = \left| {\overrightarrow \alpha } \right|\left| {\overrightarrow \beta } \right|\cos \theta$ και $\displaystyle {\sin ^2}\theta + {\cos ^2}\theta = 1,$ προκύπτει άμεσα το ζητούμενο.

Ημίτονο γωνίας διανυσμάτων

Ημίτονο γωνίας διανυσμάτων

Re: Ημίτονο γωνίας διανυσμάτων

Μέλη σε σύνδεση