ENAΣ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Δίνεται τετράεδρο OABC

, όπου

η κορυφή της τρισορθογώνιας γωνίας.

Έστω

η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου της τριγωνικής έδρας ABC.

Nα αποδείξετε ότι ο όγκος

του τετραέδρου είναι ίσος με $\displaystyle \frac{4}{3}R^{3}sinAsinBsinC\sqrt{cosAcosBcosC}$

Aν αξίζει κάτι σε αυτόν τον τύπο, είναι ότι δίνει τον όγκο τρισορθογωνίου τετραέδρου χρησιμοποιώντας μόνο στοιχεία της τριγωνικής έδρας

#2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 30, 2026 6:13 pm
Δίνεται τετράεδρο , όπου η κορυφή της τρισορθογώνιας γωνίας.

Έστω η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου της τριγωνικής έδρας

Nα αποδείξετε ότι ο όγκος του τετραέδρου είναι ίσος με $\displaystyle \frac{4}{3}R^{3}sinAsinBsinC\sqrt{cosAcosBcosC}$

Aν αξίζει κάτι σε αυτόν τον τύπο, είναι ότι δίνει τον όγκο τρισορθογωνίου τετραέδρου χρησιμοποιώντας μόνο στοιχεία της τριγωνικής έδρας

.

: εναλλα.png (5.64 KiB) Προβλήθηκε 59 φορές

.
Είναι $\sin A = \dfrac {a}{2R}$ και κυκλικά. Επίσης από τον Νόμο του Συνημιτόνου

$\cos A = \dfrac {b^2+c^2-a^2}{2bc}= \dfrac {(q^2+r^2)+(r^2+p^2)-(p^2+q^2)}{2bc}= \dfrac {2r^2}{2bc}= \dfrac {r^2}{bc}$ και κυκλικά.

Άρα η παραπάνω παράσταση ισούται με

$\dfrac {4}{3} R^3\cdot \dfrac {abc}{(2R)^3}\cdot \sqrt {\dfrac {p^2q^2r^2}{(abc)^2}}= \dfrac {1}{6}pqr$

το οποίο, ως γνωστόν, ισούται με τον όγκο του τετραέδρου. Π.χ. το είδαμε πρόσφατα στο εδώ φόρουμ αλλά υπάρχει και στα τυπολόγια.

ENAΣ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ

ENAΣ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ

Re: ENAΣ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ

Μέλη σε σύνδεση