Ώρα γωνίας εφαπτομένης 34

KARKAR · #1

: Ώρα εφαπτομένης 34.png (12.62 KiB) Προβλήθηκε 1142 φορές

Προεκτείνω την διάμετρο AB=d

, ενός ημικυκλίου , κατά τμήμα : $BS=\dfrac{d}{3}$ και φέρω

το εφαπτόμενο τμήμα

. Αν

είναι το μέσο του

, υπολογίστε την : $\tan\widehat{MSA}$ .

#2

: Ώρα εφαπτομένης γωνίας 34.png (16.31 KiB) Προβλήθηκε 1128 φορές

Ας είναι $D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,L$ οι προβολές των $T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,M$ στην

. Θέτω $AB = 6x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DB = u$ .

Επειδή τα A,B

είναι αρμονικά συζυγή των D,S

έχω $\boxed{u = \dfrac{{6x}}{5} \Leftrightarrow x = \dfrac{{5u}}{6}}\,\,\left( 1 \right)$

Αλλά $T{D^2} = DB \cdot DA \Rightarrow TD = DL = LA = 2u$ και έτσι :

$\boxed{\tan \theta = \dfrac{{ML}}{{LS}} = \dfrac{u}{{2u + u + \dfrac{{5u}}{3}}} = \dfrac{3}{{14}}}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 19, 2020 11:11 am
Ώρα εφαπτομένης 34.png Προεκτείνω την διάμετρο , ενός ημικυκλίου , κατά τμήμα : $BS=\dfrac{d}{3}$ και φέρω

το εφαπτόμενο τμήμα . Αν είναι το μέσο του , υπολογίστε την : $\tan\widehat{MSA}$ .

Έστω

το κέντρο του ημικυκλίου και

το σημείο τομής των OT, MS.

: Ώρα εφαπτομένης.34.png (17.83 KiB) Προβλήθηκε 1114 φορές

$\displaystyle S{T^2} = SB \cdot SA \Leftrightarrow ST = \frac{{2d}}{3},$ οπότε $\displaystyle \tan (T\widehat SO) = \frac{{\frac{d}{2}}}{{\frac{{2d}}{3}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\tan (T\widehat SO) = \frac{3}{4}}$ (1)

Μενέλαος στο AOT

με διατέμνουσα $\displaystyle \overline {SPM} ,$ $\displaystyle \frac{{AM}}{{MT}} \cdot \frac{{PT}}{{PO}} \cdot \frac{{SO}}{{SA}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{PT}}{{PO}} = \frac{8}{5} \Leftrightarrow PT = \frac{{4d}}{{13}}$

και $\displaystyle \tan \omega = \frac{{\frac{{4d}}{{13}}}}{{\frac{{2d}}{3}}} = \frac{6}{{13}}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} \tan \theta = \frac{{\frac{3}{4} - \frac{6}{{13}}}}{{1 + \frac{3}{4} \cdot \frac{6}{{13}}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{ \tan \theta = \frac{3}{{14}}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 19, 2020 11:11 am
Ώρα εφαπτομένης 34.png Προεκτείνω την διάμετρο , ενός ημικυκλίου , κατά τμήμα : $BS=\dfrac{d}{3}$ και φέρω

το εφαπτόμενο τμήμα . Αν είναι το μέσο του , υπολογίστε την : $\tan\widehat{MSA}$ .

Μια πιο μπελαλίδικη..

$ST^2=SB . SA= \dfrac{4d^2}{9} \Rightarrow ST= \dfrac{2d}{3}$ .

Έστω

συμμετρικό του

ως προς

και

συμμετρικό του

ως προς

και $SQ \bot AT$

Επειδή $\dfrac{AC}{CB} =2 \Rightarrow C$ είναι κ.βάρους του τριγώνου ATP

,άρα $MC= \dfrac{TS}{2}= \dfrac{d}{3} \Rightarrow MP=MC+CP=MC+TS=d$

συνεπώς το εγγράψιμο MBPA

είναι ισοσκελές τραπέζιο και το τρίγωνο TAP

ορθογώνιο ισοσκελές ,οπότε $tan \omega = \dfrac{TB}{TA}= \dfrac{1}{2}$

$\dfrac{QT}{TA}= \dfrac{SB}{BA}= \dfrac{1}{3} \Rightarrow TQ= \dfrac{TA}{3} \Rightarrow QM= \dfrac{TA}{3} + \dfrac{TA}{2} \Rightarrow QM= \dfrac{5}{6} TA$

$\dfrac{QS}{TB}= \dfrac{AS}{AB}= \dfrac{4}{3}$ .Έτσι, $tan \phi = \dfrac{QS}{QM} = \dfrac{ \dfrac{4}{3} }{ \dfrac{5}{6} } \dfrac{TB}{TA} = \dfrac{24}{15}tan \omega = \dfrac{24}{15} . \dfrac{1}{2} = \dfrac{12}{15}$

Τέλος,από $tan \theta =tan( \varphi - \omega )= \dfrac{tan \phi -tan \omega }{1+tan \phi tan \omega } \Rightarrow tan \theta = \dfrac{3}{14}$

: ef34.png (25.87 KiB) Προβλήθηκε 1072 φορές

Ώρα γωνίας εφαπτομένης 34

Ώρα γωνίας εφαπτομένης 34

Re: Ώρα γωνίας εφαπτομένης 34

Re: Ώρα γωνίας εφαπτομένης 34

Re: Ώρα γωνίας εφαπτομένης 34

Μέλη σε σύνδεση