Κεντρική λεωφόρος

KARKAR · #1

: Κεντρική λεωφόρος.png (27.15 KiB) Προβλήθηκε 689 φορές

Οι κύκλοι

και

, τέμνονται στα σημεία A , B

. Σημείο

κινείται στον (O)

. Οι

τέμνουν τον (K)

στα

αντίστοιχα . Βρείτε μια συνθήκη , ώστε η

να διέρχεται από το

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 13, 2025 6:46 am
Οι κύκλοι και , τέμνονται στα σημεία . Σημείο κινείται στον . Οι

τέμνουν τον στα αντίστοιχα . Βρείτε μια συνθήκη , ώστε η να διέρχεται από το .

: kentriki.png (50.51 KiB) Προβλήθηκε 669 φορές

Κατάλληλλη συνθήκη είναι η OA^2+KA^2=OK^2

, δηλαδή το τρίγωνο AOK

είναι ορθογώνιο, με άλλα λόγια $\boxed {R_1^2+R_2^2=p^2}$ .

Θα δείξουμε ότι η

είναι διάμετρος για οποιαδήποτε θέση του

.

Πράγματι, φέρνουμε τις διαμέτρους AS', AK

, οπότε $AS'\perp AC$ , που σημαίνει ότι η AS'

εφάπτεται του δεξιού κύκλου. Εύκολα βλέπουμε τώρα την ισότητα των διάφορων γωνιών $\theta$ του σχήματος.

Ειδικά έπεται η ισότητα των τόξων $\overset \frown {AP} =\overset \frown {CT}$ και άρα των τόξων $\overset {\frown}{APC} =\overset {\frown}{PCT}$ . Άρα και οι χορδές τους AP, PT

είναι ίσες. Αλλά η

είναι διάμετρος, οπότε και η ίση της

είναι επίσης διάμετρος, όπως θέλαμε.

#3

Λόγω σταθερής ομοιότητας του τριγώνου SPB

καθώς $\frac{AB}{PT}= \frac{SB}{PS}$ η

έχει σταθερό μήκος οπότε περνάει πάντοτε από το κέντρο. Επομένως όταν το

γίνει αντιδιαμετρικό του

, η

θα είναι εφαπτομένη του κύκλου, οπότε οι δύο κύκλοι πρέπει να τέμνονται ορθογώνια.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 13, 2025 6:46 am
Κεντρική λεωφόρος.pngΟι κύκλοι και , τέμνονται στα σημεία . Σημείο κινείται στον . Οι

τέμνουν τον στα αντίστοιχα . Βρείτε μια συνθήκη , ώστε η να διέρχεται από το .

Επειδή η εγγεγραμμένη γωνία είναι το μισό της αντίστοιχης επίκεντρου θα έχω , $\widehat {a_1^{}} = \widehat {a_2^{}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {a_3^{}} = \widehat {a_4^{}}$ .

: Κεντρική Λεωφόρος.png (30.12 KiB) Προβλήθηκε 581 φορές

Έτσι τα $\vartriangle AOK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\vartriangle AST$ είναι όμοια κι αφού $AT \bot SP$ το $\vartriangle AST$ είναι ορθογώνιο στο

.

Συνεπώς και το $\vartriangle AOK$ είναι ορθογώνιο στο

που σημαίνει ότι οι κύκλοι $\left( O \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( K \right)$ είναι ορθογώνιοι.

Κεντρική λεωφόρος

Κεντρική λεωφόρος

Re: Κεντρική λεωφόρος

Re: Κεντρική λεωφόρος

Re: Κεντρική λεωφόρος

Μέλη σε σύνδεση