Ισοδύναμες εξισώσεις

KARKAR · #1

Δίνονται οι εξισώσεις : (x-2)(2x-5)=x+2

και : $(x-2)(2x-5)=3\sqrt{x}$ .

Λύστε τις δύο εξισώσεις . Μπορούμε να ισχυριστούμε ότι οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 24, 2023 9:15 pm
Δίνονται οι εξισώσεις : και : $(x-2)(2x-5)=3\sqrt{x}$ .

Λύστε τις δύο εξισώσεις . Μπορούμε να ισχυριστούμε ότι οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες ;

Εννοείται , «μιλάμε» για λύσεις στο σύνολο των πραγματικών αριθμών .

Η πρώτη μετά τις πράξεις γίνεται : ${x^2} - 5x + 4 = 0$ με προφανείς ρίζες : x = 1

είτε

.

Στη δεύτερη το πεδίο ορισμού είναι : $A = \left\{ {x\backslash x \in \left[ {0,2} \right] \cup \left[ {\dfrac{5}{2}, + \infty } \right)} \right\}$ και υψώνω στο τετράγωνο , οπότε: προκύπτει.

$\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right)\left( {4{x^2} - 16x + 25} \right) = 0$ .

Το τριώνυμο $t(x) = 4{x^2} - 16x + 25 = 4{\left( {x - 2} \right)^2} + 9 > 0$ , συνεπώς και αυτή έχει τις ίδιες λύσεις με την πρώτη άρα είναι ισοδύναμες.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 24, 2023 9:15 pm
Δίνονται οι εξισώσεις : και : $(x-2)(2x-5)=3\sqrt{x}$ .

Λύστε τις δύο εξισώσεις . Μπορούμε να ισχυριστούμε ότι οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες ;

Εξισώνω τα δεύτερα μέλη των δύο εξισώσεων και έχω $\displaystyle x - 3\sqrt x + 2 = 0,$ απ' όπου x=1

ή

τιμές που επαληθεύουν τις αρχικές εξισώσεις. Εύκολα διαπιστώνουμε ότι καμία από αυτές δεν έχει άλλη ρίζα,

άρα οι εξισώσεις είναι ισοδύναμες.

Λάμπρος Κατσάπας · #4

Για να μπορέσουμε να απαντήσουμε θα πρέπει να μας πεις ποιον ορισμό χρησιμοποιείς για την έννοια των ισοδύναμων εξισώσεων. Αν για παράδειγμα περιλαμβάνεις και το σύνολο ορισμού, όπως κάποιοι συγγραφείς, τότε δεν είναι ισοδύναμες.

#5

Ερώτηση
Υπάρχει σχετικός ορισμός σε σχολικό βιβλίο;
Έστω σε οδηγίες διδασκαλίας ;

#6

exdx έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 25, 2023 1:03 pm
Ερώτηση
Υπάρχει σχετικός ορισμός σε σχολικό βιβλίο;
Έστω σε οδηγίες διδασκαλίας ;

Δεν έχει πέσει στην αντίληψή μου τέτοιος ορισμός στα σχολικά βιβλία (τουλάχιστον των τελευταίων χρόνων).
Όταν πήγαινα σχολείο, λέγαμε ισοδύναμες εξισώσεις αυτές που έχουν ίδιες λύσεις. Αντιγράφω από το βιβλίο
του Αριστείδου. Φ. Πάλλα, Μεγάλη Άλγεβρα (1971)

Ισοδύναμοι λέγονται δύο εξισώσεις, όταν έχουν τας αυτάς λύσεις, ήτοι, όταν πάσα λύσις της πρώτης

είναι και λύσις της δευτέρας και πάσα λύσις της δευτέρας είναι και λύσις της πρώτης

Τον ίδιο ορισμό δίνει και το τότε σχολικό βιβλίο των Μπούσγου-Ταμβακλή, Μαθηματικά Γ' Γυμνασίου Πρώτος Τόμος (1970)

Ισοδύναμες εξισώσεις

Ισοδύναμες εξισώσεις

Re: Ισοδύναμες εξισώσεις

Re: Ισοδύναμες εξισώσεις

Re: Ισοδύναμες εξισώσεις

Re: Ισοδύναμες εξισώσεις

Re: Ισοδύναμες εξισώσεις

Μέλη σε σύνδεση