Εφαπτόμενες

KARKAR · #1

: Εφαπτόμενες.png (4.13 KiB) Προβλήθηκε 1210 φορές

$\bigstar$ Με την ημιευθεία $O\zeta$ , χωρίσαμε την ορθή γωνία $\widehat{xOy}$ σε δύο γωνίες $\theta$ και $\phi$ .

α) Βρείτε τη μικρότερη δυνατή τιμή του αθροίσματος : $\tan\theta+\tan\phi$

β) Για ποια τιμή της $\theta$ είναι : $\tan\theta+\tan\phi=4$ ;

γ) Προαιρετικό : Είναι γνωστό ότι : $\tan3x=\dfrac{3\tanx-\tan^3x}{1-3\tan^2x}$ . Υπολογίστε την : $\tan5x$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Καλησπέρα !
α)
Αφού $\vartheta ,\varphi$ συμπληρωματικές θα είναι $\tan\vartheta \cdot \tan\varphi =1$
Άρα $\tan\vartheta +\tan\varphi$ ελάχιστο αν $\tan\vartheta =\tan\varphi$ .
Άρα $\vartheta =45^{\circ}\Leftrightarrow 2\tan\vartheta =2\cdot 1=2$

β)
$\tan\varphi =\dfrac{1}{\tan\vartheta }$ άρα $\tan\vartheta +\dfrac{1}{\tan\vartheta }=4\Leftrightarrow\tan^2\vartheta -4\tan\theta +1=0$
Έχουμε
$\Delta Δ=16-4=12$ άρα $\tan\vartheta =\dfrac{4\pm 2\sqrt{3}}{2}=2\pm \sqrt{3}$
Για $\tan\theta=2+ \sqrt{3}$ είναι $\tan\varphi=2-\sqrt{3}$ και αντίστροφα.
$\tan\vartheta =2+\sqrt{3}\Leftrightarrow \vartheta =75^{\circ},\varphi =15^{\circ}$

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #3

Καλησπέρα!
α) $\tan \vartheta +\tan \varphi =\dfrac{\sin \vartheta }{\cos\vartheta }+\dfrac{\sin \varphi }{\cos \varphi }=\dfrac{\sin \vartheta }{\cos \vartheta }+\dfrac{cos\vartheta }{sin\vartheta }=\dfrac{sin\vartheta^{2}+cos\vartheta ^{2} }{cos\vartheta\cdot sin\vartheta }=\dfrac{1}{cos\vartheta \cdot sin\vartheta }=\dfrac{2}{2\cdot cos\vartheta \cdot sin\vartheta}=\,..=\dfrac{2}{\sin2\vartheta }$
που παίρνει ελάχιστο όταν $sin2\vartheta =1$

Άρα $min(tan\vartheta +tan\varphi )=2$

β) Είναι $tan \vartheta +\tan \varphi=4\Leftrightarrow \dfrac{2}{sin2\vartheta }=4\Leftrightarrow sin2\vartheta =\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow 2\vartheta =30^{\circ}\Leftrightarrow \vartheta =15^{\circ}$

KARKAR · #4

Ωραίοι και οι δύο

. Αλήθεια είστε συγγενείς ; Για το προαιρετικό : Αξιοποιώντας τον τύπο

για την $\tan3x$ , τον γνωστό για την $\tan2x$ και τον τύπο της $\tan(3x+2x)$ , θα βρούμε -

με πολλές πράξεις - ότι : $\tan5x=\tan x \dfrac{\tan^4x-10\tan^2x+5}{5\tan^4x-10\tan^2x+1}$

Εφαπτόμενες

Εφαπτόμενες

Re: Εφαπτόμενες

Re: Εφαπτόμενες

Re: Εφαπτόμενες

Μέλη σε σύνδεση