mathematica.gr • Που πήγε η ακεραιότητα ;

Σελίδα 1 από 1

Που πήγε η ακεραιότητα ;

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Φεβ 18, 2017 2:03 pm

από maiksoul

Να λυθεί η εξίσωση

2x^4-2x^3-5x^2+4x+2=0

2x^4-2x^3-5x^2+4x+2=0

Re: Που πήγε η ακεραιότητα ;

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Φεβ 18, 2017 3:16 pm

από chris97

maiksoul έγραψε:Να λυθεί η εξίσωση

2x^4-2x^3-4x^2+4x-x^2+2=0

2x(x^3-x^2-2x+2)-(x^2-2)=0

2x[x^2(x-1)-2(x-1)]-(x^2-2)=0

2x(x^2-2)(x-1)-(x^2-2)=0

(x^2-2)(2x^2-2x-1)=0

$x= \sqrt[]{2}$ ή $x= -\sqrt[]{2}$ ή 2x^2-2x-1=0

2x^2-2x-1=0

η τελευταία δίνει ρίζες $x=1/2 +3\sqrt[]{2}/2$ , $x=1/2 -3\sqrt[]{2}/2$

Re: Που πήγε η ακεραιότητα ;

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Φεβ 18, 2017 10:18 pm

από maiksoul

Σε ευχαριστώ για την ενασχόληση και τη λύση . Ακόμα μία παρόμοια λύση είναι η ακόλουθη.

Βλέπουμε αρχικά ότι η εξίσωση δεν έχει ακέραιες ρίζες και στη συνέχεια γράφεται

$2x^4-2x^3-4x^2-x^2+4x+2=0\Leftrightarrow 2x^4-4x^2-(2x^3-4x)-(x^2-2)=0$

$2x^2(x^2-2)-2x(x^2-2)-(x^2-2)=0\Leftrightarrow (x^2-2)(2x^2-2x-1)=0$

$x=\sqrt{2}\vee x=-\sqrt{2} \vee x=\frac{1+\sqrt{3}}{2} \vee x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$

Re: Που πήγε η ακεραιότητα ;

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Φεβ 19, 2017 1:05 am

από achilleas

maiksoul έγραψε:Να λυθεί η εξίσωση

Πολ/ντας με 8, η δοθείσα γίνεται

16x^4-16x^3-40x^2+32x+16=0

16x^4-16x^3-40x^2+32x+16=0

Ισοδύναμα έχουμε

16x^4+4x^2+25-16x^3-40x^2+20x=4x^2-12x+9

16x^4+4x^2+25-16x^3-40x^2+20x=4x^2-12x+9

δηλ.

(4x^2-2x-5)^2=(2x-3)^2

,

οπότε

4x^2-2x-5=2x-3

4x^2-2x-5=2x-3

ή

4x^2-2x-5=-2x+3

, δηλαδή

4x^2-4x+1=3

ή

4x^2=8.

Εύκολα παίρνουμε ισοδύναμα

(2x-1)^2=3

(2x-1)^2=3

ή

x^2=2

Συνεπώς,

$x=\dfrac{1}{2}\pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ή $x=\pm \sqrt{2}$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας