mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 28, 2013 4:35 pm**

Να αποδειχτεί ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο P(x)

για το οποίο ισχύει P(x)=|x|

για κάθε $x\in R$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 28, 2013 4:44 pm**

με γνώσεις γ λυκείου

η συνάρτηση $\displaystyle{|x|}$ δεν είναι πολυωνυμική συνάρτηση
γιατί κάθε πολυωνυμική συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$
ενώ η συνάρτηση $\displaystyle{|x|}$ δεν είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{x_o=0}$ ,
αφού τα πλευρικά όρια της παραγώγου της στο σημείο αυτό βγαίνουν άνισα (απλό)
(σχηματικά έχουμε γωνιακό σημείο στην γραφική της παράσταση στην αρχή των αξόνων)

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 28, 2013 5:20 pm**

Υπάρχουν διάφορες προσεγγίσεις σε αυτό το θέμα.

Θέτοντας $\displaystyle{x\to P(x)}$ βρίσκουμε $\displaystyle{P(P(x))=|P(x)|=|x|=P(x)~\forall x.}$

Άρα

$\displaystyle{P(x)=ax+b ~\forall x.}$

Άρα

$\displaystyle{|x|=ax+b~\forall x,}$ προφανώς άτοπο.

mathematica.gr

Μία αποδεικτική στα πολυώνυμα

Μία αποδεικτική στα πολυώνυμα

Re: Μία αποδεικτική στα πολυώνυμα

Re: Μία αποδεικτική στα πολυώνυμα