Μια ωραία άσκηση στα πολυώνυμα

Νικος Αντωνόπουλος · #1

Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ακέραια τιμή του x το πολυώνυμο $P(x)=\frac{1}{630}x^{9}-\frac{1}{21}x^{7}+\frac{13}{30}x^{5}-\frac{82}{\color{red}\bf 63}}x^{3}+\frac{32}{35}x$ λαμβάνει ακέραιες τιμές

------------------------------
έγινε επεξεργασία μετά από το μήνυμα
Φωτεινή

sxima · #2

Το πολυώνυμο είναι συνεχής συνάρτηση οπότε σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών παίρνει και
όλες τις ενδιάμεσες τιμές μεταξύ δυο τιμών του. Άρα παίρνει και μη ακέραιες τιμές. Μήπως υπάρχει λάθος στην
διατύπωση της άσκησης ή εγώ δεν ερμηνεύω σωστά κάτι;

Ιστοσελίδα · #3

Πάντως το P(1) το υπολόγισα 4/100, αν έκανα σωστά τις πράξεις

KARKAR · #4

Το πολυώνυμο είναι περιττού βαθμού άρα παίρνει ώς τιμή κάθε πραγματικό αριθμό.

Άρα δεν μπορεί να παίρνει μόνο ακέραιες τιμές.

Νικος Αντωνόπουλος · #5

Συγνώμη για την ταλαιπωρία, έχετε δίκιο. Επανορθώνω: Το κλάσμα $\frac{82}{65}$ παρακαλώ να αντικατασταθεί με $\frac{82}{63}$ και αντί για όλους τους πραγματικούς να αποδειχθεί το ζητούμενο για όλους τους ακεραίους.
Και πάλι συγγνώμη για την ταλαιπωρία.

#6

Κάνοντας ομώνυμα τα κλάσματα, το πολυώνυμο P(x)

γράφεται:

$\displaystyle{P(x)=\frac{x}{630}(x^8-30*x^6+273x^4-820x^2+576,\ x \in \mathbb{Z}}$ .

Με διαδοχικά σχήματα Horner και αναλύοντας το 630 σε γινόμενο πρώτων αριθμών βρίσκουμε ότι:

$\displaystyle{P(x)=\frac{(x+4)(x+3)(x+2)(x+1)x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}{2 \cdot3^2 \cdot 5 \cdot 7},\ x \in \mathbb{Z}}$ .

Το $P(x),\ x \in \mathbb{Z}$ πράγματι έχει μόνο ακέραιες τιμές, αφού:

* ο αριθμητής είναι πολλαπλάσιο του 2 ως γινόμενο 2 διαδοχικών όρων,
* ο αριθμητής είναι πολλαπλάσιο του 5 ως γινόμενο 5 διαδοχικών όρων,
* ο αριθμητής είναι πολλαπλάσιο του 7 ως γινόμενο 7 διαδοχικών όρων,
* ο αριθμητής είναι πολλαπλάσιο του 3^2=9

ως γινόμενο 9 διαδοχικών όρων.

Μια ωραία άσκηση στα πολυώνυμα

Μια ωραία άσκηση στα πολυώνυμα

Re: Μια ωραία άσκηση στα πολυώνυμα

Re: Μια ωραία άσκηση στα πολυώνυμα

Re: Μια ωραία άσκηση στα πολυώνυμα

Re: Μια ωραία άσκηση στα πολυώνυμα

Re: Μια ωραία άσκηση στα πολυώνυμα

Μέλη σε σύνδεση