Εκνευριστική αλλά απαραίτητη τριγωνομετρία

KARKAR · #1

: Εκνευριστική αλλά απαραίτητη τριγωνομετρία.png (13.29 KiB) Προβλήθηκε 1892 φορές

Από την κορυφή

του τετραγώνου ABCD

, διέρχεται ευθεία , που σχηματίζει γωνία $\theta$ με την

,

τέμνει την

στο σημείο

και την προέκταση της

στο

. Ονομάζουμε

το μέσο της

και

την προβολή του

στην

. Υπολογίστε - με χρήση κατάλληλου τριγωνομετρικού αριθμού -

την γωνία $\theta$ , έτσι ώστε να είναι : BT=CM

. $\bigstar ... 24$ ώρες μόνο για μαθητές .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 21, 2025 9:55 am
Εκνευριστική αλλά απαραίτητη τριγωνομετρία.pngΑπό την κορυφή του τετραγώνου , διέρχεται ευθεία , που σχηματίζει γωνία $\theta$ με την ,

τέμνει την στο σημείο και την προέκταση της στο . Ονομάζουμε το μέσο της

και την προβολή του στην . Υπολογίστε - με χρήση κατάλληλου τριγωνομετρικού αριθμού -

την γωνία $\theta$ , έτσι ώστε να είναι : . $\bigstar ... 24$ ώρες μόνο για μαθητές .

Θέτω

Όλες οι πράσινες γωνίες είναι ίσες με $\theta$ και από τα όμοια τρίγωνα

ABT, ADP

είναι, $\displaystyle \frac{a}{{AP}} = \frac{x}{a} \Leftrightarrow$ $\boxed{AP = \frac{{{a^2}}}{x}}$ (1)

: Εκνευριστική τριγωνομετρία.png (15.22 KiB) Προβλήθηκε 1839 φορές

$\displaystyle {a^2} = AT \cdot AS = AT(AP + 2x)\mathop = \limits^{(1)} AT \cdot \frac{{{a^2} + 2{x^2}}}{x} \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} - {x^2}} = \frac{{{a^2}x}}{{{a^2} + 2{x^2}}} \Leftrightarrow$

$\displaystyle 4{x^6} - 2{a^4}{x^2} - {a^6} = 0.$ Αλλά, $\displaystyle \cos \theta = \frac{x}{a},$ οπότε $\boxed{4{\cos ^6}\theta - 2{\cos ^2}\theta - 1 = 0}$

Εδώ, επί της ουσίας, η άσκηση τελειώνει.

KARKAR · #3

: Εκνευριστική αλλά απαραίτητη τριγωνομετρία.png (15.91 KiB) Προβλήθηκε 1787 φορές

Από το τρίγωνο PCS

παίρνουμε : $x=\dfrac{a(1-\tan\theta)}{2\sin\theta}$ . Είναι και : $x=a\cos\theta$ .

Τελικά : $\sin2\theta= 1-\tan\theta$ ή : $\dfrac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta}=1-\tan\theta$ ή ισοδύναμα :

$\tan^3\theta-\tan^2\theta+3\tan\theta-1=0 , 0<\theta < \dfrac{\pi}{2}$ . ( Μια άλλη λύση )

Εκνευριστική αλλά απαραίτητη τριγωνομετρία

Εκνευριστική αλλά απαραίτητη τριγωνομετρία

Re: Εκνευριστική αλλά απαραίτητη τριγωνομετρία

Re: Εκνευριστική αλλά απαραίτητη τριγωνομετρία

Μέλη σε σύνδεση