Πρόσημο αριθμού υπό συνθήκη!

#1

Δίνεται αριθμός $\displaystyle{a\in \mathbb{R}}$ , για τον οποίο ισχύει $\displaystyle{e^a+2a-e=0.}$

Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{b=a^2-(e+2)a+e-1}$ είναι αρνητικός.

$\displaystyle{\color{red}\rule{500pt}{3pt}}$

Φανερά το ερώτημα σχετίζεται με τα θέματα των σημερινών εξετάσεων. Ωστόσο το νόημα του ερωτήματος είναι να αντιμετωπιστεί με αλγεβρικά μέσα, ουσιαστικά της Α' Λυκείου. Βλέπω ότι υπάρχει τέτοια απόδειξη. Το τοποθετώ στον φάκελο της Β' Λυκείου εξαιτίας της παρουσίας του $\displaystyle{e}$ και των σχετικών εκθετικών μεγεθών.

KARKAR · #2

Θάνο ακριβώς το ίδιο ερώτημα έθεσα στους συναδέλφους με τους οποίους συνεξετάζαμε στο Βαθμολογικό ,

προφανώς θέλοντας μια καλή προσέγγιση του ελαχίστου της συνάρτησης

του θέματος Δ .

Η απάντηση ήταν και με καταφυγή σε λογισμικό αλλά και με ελάχιστο τριωνύμου ....

#3

matha έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 17, 2020 7:43 pm
Δίνεται αριθμός $\displaystyle{a\in \mathbb{R}}$ , για τον οποίο ισχύει $\displaystyle{e^a+2a-e=0.}$

Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{b=a^2-(e+2)a+e-1}$ είναι αρνητικός.

$\displaystyle{\color{red}\rule{500pt}{3pt}}$

Φανερά το ερώτημα σχετίζεται με τα θέματα των σημερινών εξετάσεων. Ωστόσο το νόημα του ερωτήματος είναι να αντιμετωπιστεί με αλγεβρικά μέσα, ουσιαστικά της Α' Λυκείου. Βλέπω ότι υπάρχει τέτοια απόδειξη. Το τοποθετώ στον φάκελο της Β' Λυκείου εξαιτίας της παρουσίας του $\displaystyle{e}$ και των σχετικών εκθετικών μεγεθών.

Είναι

.

Παρατηρούμε ότι αν ήταν $a\leq 1/2$ , τότε θα είχαμε $1\geq 2a=e-e^a\geq e-\sqrt{e}>2,7-1,7=1$ , άτοπο. Συνεπώς, είναι a>1/2.

Αρκεί να δείξουμε ότι το

είναι μεταξύ των ριζών $\dfrac{e+2-\sqrt{e^2+8}}{2}$ και $\dfrac{e+2+\sqrt{e^2+8}}{2}$ του τριωνύμου x^2-(e+2)x+e-1

, δηλ.

$\displaystyle{\dfrac{e+2-\sqrt{e^2+8}}{2}<a<\dfrac{e+2+\sqrt{e^2+8}}{2}$

ή, ισοδύναμα, ότι ισχύει

$2-\sqrt{e^2+8}<2a-e<2+\sqrt{e^2+8}}$ .

Η τελευταία ανισότητα ισχύει, αφού

$2-\sqrt{e^2+8}<-2e/3<2a-e=-e^a<0<2+\sqrt{e^2+8}$ .

Πράγματι, η δεξιά ανισότητα είναι προφανής. Για την αριστερή ανισότητα, παρατηρούμε πρώτα ότι

$2-\sqrt{e^2+8}<-2e/3\iff 6+2e<3\sqrt{e^2+8}\iff 5e^2-24e+36>0$ , που ισχύει,

αφού το τριώνυμο 5x^2-24x+36

έχει αρνητική διακρίνουσα $\Delta=-144$ , και άρα είναι πάντοτε θετικό.

Συνεπώς, $2-\sqrt{e^2+8}<-2e/3<2a-e$ , όπως θέλαμε, αφού 2a>1>e/3

.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#4

achilleas έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 17, 2020 9:02 pm
......

$2-\sqrt{e^2+8}<2a-e....$

....

Για την αριστερή ανισότητα παραπάνω, θα μπορούσαμε πιο απλά να παρατηρήσουμε ότι

$2-\sqrt{e^2+8}<1-e<2a-e$ .

Πράγματι, η δεξιά ανισότητα έπεται από την a>1/2

. Η αριστερή ανισότητα είναι ισοδύναμη με

$1+e<\sqrt{e^2+8}\iff 1+2e+e^2<e^2+8\iff e<7/2$ , που ισχύει.

Φιλικά,

Αχιλλέας

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

matha έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 17, 2020 7:43 pm
Δίνεται αριθμός $\displaystyle{a\in \mathbb{R}}$ , για τον οποίο ισχύει $\displaystyle{e^a+2a-e=0.}$

Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{b=a^2-(e+2)a+e-1}$ είναι αρνητικός.

$\displaystyle{\color{red}\rule{500pt}{3pt}}$

Φανερά το ερώτημα σχετίζεται με τα θέματα των σημερινών εξετάσεων. Ωστόσο το νόημα του ερωτήματος είναι να αντιμετωπιστεί με αλγεβρικά μέσα, ουσιαστικά της Α' Λυκείου. Βλέπω ότι υπάρχει τέτοια απόδειξη. Το τοποθετώ στον φάκελο της Β' Λυκείου εξαιτίας της παρουσίας του $\displaystyle{e}$ και των σχετικών εκθετικών μεγεθών.

Θα χρησιμοποιήσω την παρατήρηση του Αχιλλέα ότι $a>\frac{1}{2}$

Επίσης είναι a<0,7

Γιατί αν $a\geq 0,7$ τότε

$\displaystyle e=e^a+2a \geq 1,4+2^{0,7}>1,4+\sqrt{2}> 2,8$

Ετσι είναι

$\displaystyle a^2-(e+2)a+e-1< \frac{1}{2}-(e+2)\frac{1}{2}+e-1=-\frac{3}{2}+\frac{e}{2}=\frac{e-3}{2}< 0$

Πρόσημο αριθμού υπό συνθήκη!

Πρόσημο αριθμού υπό συνθήκη!

Re: Πρόσημο αριθμού υπό συνθήκη!

Re: Πρόσημο αριθμού υπό συνθήκη!

Re: Πρόσημο αριθμού υπό συνθήκη!

Re: Πρόσημο αριθμού υπό συνθήκη!

Μέλη σε σύνδεση