Πλήθος λύσεων

KARKAR · #1

Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού

, βρείτε ( προσεκτικά ! ) ,

το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης : |x^2-6x+5|=k

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 15, 2024 11:46 am
Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού , βρείτε ( προσεκτικά ! ) ,

το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης : .

.
Είναι εποπτικότερο να εργαστούμε με το γράφημα της δοθείσας: Η y=x^2-6x+5=(x-1)(x-5)

είναι παραβολή που τέμενει τον άξονα των

στα

. Στο διάστημα (1,5)

παίρνει αρνητικές τιμές, οπότε εύκολα βλέπουμε ότι το γράφημα της απόλυτης τιμής |x^2-6x+5|

είναι όπως στην εικόνα, με τοπικό μέγιστο στο x=3

ίσο με

.

Από το γράφημα (αλλά και αυστηρά) συμπεραίνουμε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει

-

ρίζες αν

-

-

ρίζες αν

-

ρίζες αν

-

ρίζες αν

-

ρίζες αν

#3

Να τονίσουμε ότι στην περίπτωση $\displaystyle \kappa =4$ είναι :
$\displaystyle \begin{array}{l} |{x^2} - 6x + 5| = 4 \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 5 = 4 \vee {x^2} - 6x + 5 = - 4 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 1 = 0 \vee {x^2} - 6x + 9 = 0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow x = 3 \pm 2\sqrt 2 \vee x = 3\, \end{array}$
όπου η $\displaystyle x=3\,\,$ είναι διπλή ρίζα.

Nikitas K. · #4

$\displaystyle |x^2-6x+5| = \left\{\begin{matrix} x^2-6x+5 &,~x\in (-\infty,1]\cup [5,+\infty) \\ -x^2+6x-5 &,~x\in (1,5) \end{matrix}\right.$

Αν , τότε , άτοπο.

Αν , τότε $|x^2-6x+5| = 0\Leftrightarrow |x-1||x-5| = 0 \Leftrightarrow x = 1 \vee x = 5$ , τότε έχει άνισες λύσεις.

Αν $\displaystyle k>0 \wedge x\in (-\infty, 1] \cup [5,+\infty)$ , τότε
$\displaystyle x^2-6x+5 = k\Leftrightarrow x^2-6x+5-k=0$
Ισχύει ότι:
$\displaystyle \Delta = 4 (4+k) > 16\Rightarrow \Delta > 0$ , τότε έχει άνισες λύσεις.

Αν , τότε

Ισχύει ότι:
- Αν $\Delta < 0\Leftrightarrow k > 4$ , τότε δεν έχει λύση.
- Αν $\Delta = 0 \Leftrightarrow k = 4$ , τότε έχει μια διπλή λύση.
- Αν $\Delta > 0 \Leftrightarrow k\in (0,4)$ , τότε έχει άνισες λύσεις.