Απαιτητικό πρόσημο με ... τριώνυμο

maiksoul · #1

Το τριώνυμο f(x)=ax^2+bx+c

έχει μη μηδενικούς συντελεστές, διακρίνουσα $\Delta$ και για τις τιμές του f(0),f(1),f(2)

ισχύει :

$f^{3}(1)\cdot [\;7f^{3}(0)+f^{3}(2)+12f^{2}(0)f(2)+6f(0)f^{2}(2)\;]+$ $f^{3}(0)f(2)\cdot[ \;f^{2}(2)+ 3f^{2}(1)-3f(1)f(2)\;]=0$

Να βρείτε το πρόσημο της παράστασης:

$-\Delta ^{2022} +2\Delta ^{1011}-\Delta ^{2020}-2\Delta ^{1010}+\Delta ^{2021}-1$

Λάμπρος Μπαλός · #2

Μάνα μου ματζουράνα μου. Λοιπόν..

$f^{3}(1)[8f^{3}(0)+f^{3}(2)+12f^{2}(0)f(2)+6f(0)f^{2}(2)-f^{3}(0)]=-f^{3}(0)[f^{3}(2)+3f^{2}(1)f(2)-3f(1)f^{2}(2)] \Rightarrow$

$f^{3}(1)[(2f(0)+f(2))^{3}-f^{3}(0)]=-f^{3}(0)[(f(2)-f(1))^{3}+f^{3}(1)] \Rightarrow$

$[f(1)(2f(0)+f(2))]^{3}=[f(0)(f(1)-f(2))]^{3} \Rightarrow$

$f(1)(2f(0)+f(2))=f(0)(f(1)-f(2)) \Rightarrow$

f(0)f(1)+f(1)f(2)+f(2)f(3)=0

.

Από το παραπάνω συμπεραίνουμε ότι η Διακρίνουσα του τριωνύμου είναι μη αρνητική διότι αν ήταν αρνητική, το τριώνυμο θα διατηρούσε πρόσημο, συνεπώς τα f(0),f(1),f(2)

θα ήταν ομόσημα και δεν θα ίσχυε το παραπάνω.

Για $D \geq 0$ λοιπόν, πάμε να δούμε τη ζητούμενη παράσταση η οποία γράφεται :

$-D^{2022}+2D^{1011}-D^{2020}-2D^{1010}+2D^{2021}-1-D^{2021}=$

$-(D^{2022}-2D^{1011}+D^{2020}+2D^{1010}-2D^{2021}+1)-D^{2021}=$

$-(D^{1011}-D^{1010}-1)^{2}-D^{2021} < 0$ , αφού οι δύο μη θετικές ποσότητες δεν μηδενίζονται ταυτόχρονα.

Μπορώ να πω ότι νιώθω σαν

Απαιτητικό πρόσημο με ... τριώνυμο

Απαιτητικό πρόσημο με ... τριώνυμο

Re: Απαιτητικό πρόσημο με ... τριώνυμο

Μέλη σε σύνδεση