Ακολουθία ακεραίων

#1

Να δείξετε ότι:

α) υπάρχει μοναδική ακολουθία θετικών ακεραίων $\displaystyle a_1,a_2,a_3,\cdots$ τέτοια ώστε $\displaystyle n=\sum_{d|n}a_d$ , για κάθε θετικό ακέραιο

.

β) υπάρχει μοναδική ακολουθία θετικών ακεραίων $\displaystyle b_1,b_2,b_3,\cdots$ τέτοια ώστε $\displaystyle n=\prod_{d|n}b_d$ , για κάθε θετικό ακέραιο

.

#2

Για το (α) δειτε viewtopic.php?f=63&t=7192

Φιλικά,

Αχιλλέας

#3

socrates έγραψε:Να δείξετε ότι:

β) υπάρχει μοναδική ακολουθία θετικών ακεραίων $\displaystyle b_1,b_2,b_3,\cdots$ τέτοια ώστε $\displaystyle n=\prod_{d|n}b_d$ , για κάθε θετικό ακέραιο .

Για την μοναδικότητα, αν $c_1,c_2,\ldots$ ήταν μια άλλη ακολουθία που ικανοποιούσε τις συνθήκες και

ο μικρότερος δείκτης για τον οποίο $b_k \neq c_k$ τότε θα είχαμε $\displaystyle{k = \prod_{d|k}b_d = b_k \prod_{d|k,d\neq k} b_d = b_k \prod_{d|k,d\neq k} c_d \neq \prod_{d|k}c_d = k,}$ άτοπο.

Για την ύπαρξη, αφού πρώτα βρούμε αρκετά από τα b_i

(πήγα μέχρι το $b_{12}$ ) μαντεύουμε ότι b_k = 1

αν

ή αν υπάρχουν τουλάχιστον δυο διαφορετικοί πρώτοι που διαιρούν τον

και

αν

είναι ο μοναδικός πρώτος που διαιρεί τον

. Είναι εύκολο να ελεγχθεί ότι η συνθήκη ικανοποιείται.

#4

γ) υπάρχει ακολουθία θετικών ακεραίων $\displaystyle a_1,a_2,a_3,\cdots$ τέτοια ώστε ο αριθμός $\displaystyle a_1^2+a_2^2+...+a_n^2$ να είναι τέλειο τετράγωνο , για κάθε θετικό ακέραιο

.

#5

socrates έγραψε:γ) υπάρχει ακολουθία θετικών ακεραίων $\displaystyle a_1,a_2,a_3,\cdots$ τέτοια ώστε ο αριθμός $\displaystyle a_1^2+a_2^2+...+a_n^2$ να είναι τέλειο τετράγωνο , για κάθε θετικό ακέραιο .

Επαναφορά!

#6

socrates έγραψε:γ) υπάρχει ακολουθία θετικών ακεραίων $\displaystyle a_1,a_2,a_3,\cdots$ τέτοια ώστε ο αριθμός $\displaystyle a_1^2+a_2^2+...+a_n^2$ να είναι τέλειο τετράγωνο , για κάθε θετικό ακέραιο .

Ναι. Ξεκινάμε παίρνοντας a_1 = 3

. Έστω ότι καταφέραμε ήδη να βρούμε τους $a_1,\ldots,a_n$ και ότι $\displaystyle{a_1^2 + \cdots + a_n^2 = r^2}$ .

Αν r=2k

, θέτουμε $a_{n+1} = k^2-1$ και παρατηρούμε ότι $\displaystyle{a_1^2 + \cdots + a_n^2 + a_{n+1}^2 = (k^2+1)^2}$ .
Αν r=2k+1

, θέτουμε $a_{n+1} = 2k(k+1)$ και παρατηρούμε ότι $\displaystyle{a_1^2 + \cdots + a_n^2 + a_{n+1}^2 = (2k^2+2k+1)^2}$ .

Άρα επαγωγικά μπορούμε όντως να κατασκευάσουμε την ζητούμενη ακολουθία. [Ο λόγος που ξεκινήσαμε από a_1 = 3

είναι για να είμαστε σίγουροι ότι το $a_{n+1}$ είναι θετικό.]

[Οι τιμές που πήραμε για το $a_{n+1}$ προέκυψαν χρησιμοποιώντας τον τύπο $\displaystyle{ (a^2-b^2)^2 + (2ab)^2 = (a^2+b^2)^2 }$ . Π.χ. στην περίπτωση r=2k+1

που είναι λίγο πιο δύσκολη, ψάχνουμε a,b

με

(αφού δεν μπορούμε να έχουμε 2ab = 2k+1

). Αρκεί να πάρουμε a-b=1,a+b=2k+1

που δίνει

. Τότε θέτουμε $a_{n+1} = 2ab = 2k(k+1)$ .]

Ακολουθία ακεραίων

Ακολουθία ακεραίων

Re: Ακολουθία ακεραίων

Re: Ακολουθία ακεραίων

Re: Ακολουθία ακεραίων

Re: Ακολουθία ακεραίων

Re: Ακολουθία ακεραίων

Μέλη σε σύνδεση