Περιγράψιμο καὶ ταυτοχρόνως ἐγγράψιμο τετράπλευρο

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Δίδεται τετράπλευρο μὲ μήκη πλευρῶν , τὸ ὁποῖο εἶναι περιγράψιμο, δηλαδή, ὑπάρχει κύκλος ἐντὸς αὐτοῦ, ὁ ὁποῖος ἐφάπτεται καὶ μὲ τὶς τέσσερίς του πλευρές. Ἂν τὸ ἐμβαδόν του ἰσοῦται μὲ $\sqrt{abcd}$ , δείξατε ὅτι τὸ τετράπλευρο αὐτὸ εἶναι ἐγγράψιμο.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Προκύπτει ἄμεσα ἀπὸ τὸν τὺπο τοῦ Bretschneider. Ὑπάρχει στοιχειωδέστερος τρόπος;

#2

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε:ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Δίδεται τετράπλευρο μὲ μήκη πλευρῶν , τὸ ὁποῖο εἶναι περιγράψιμο, δηλαδή, ὑπάρχει κύκλος ἐντὸς αὐτοῦ, ὁ ὁποῖος ἐφάπτεται καὶ μὲ τὶς τέσσερίς του πλευρές. Ἂν τὸ ἐμβαδόν του ἰσοῦται μὲ $\sqrt{abcd}$ , δείξατε ὅτι τὸ τετράπλευρο αὐτὸ εἶναι ἐγγράψιμο.

Καλημέρα!

Έστω ABCD

περιγράψιμο τετράπλευρο με διαδοχικές πλευρές a,b,c,d

διαγωνίους p, q

, εμβαδόν

, ημιπερίμετρο

και ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου

. Είναι:

$\displaystyle{E = \frac{1}{2}\sqrt {{p^2}{q^2} - {{(ac - bd)}^2}} = s \cdot r \Leftrightarrow }$ $\boxed{r = \frac{1}{{2s}}\sqrt {{p^2}{q^2} - {{(ac - bd)}^2}} }$ (1)

.

Έστω ότι δεν είναι εγγράψιμο. Τότε από την ανισότητα του Πτολεμαίου: $\boxed{pq<ac+bd}$

και από την (1)

, $\displaystyle{r < \frac{1}{{2s}}\sqrt {{{(ac + bd)}^2} - {{(ac - bd)}^2}} \Leftrightarrow E < s\frac{{\sqrt {abcd} }}{s}=\sqrt{abcd},$ που είναι άτοπο. Άρα το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.

ΥΓ. Όταν άρχισα να πληκτρολογώ δεν υπήρχε η ΣΗΜΕΙΩΣΗ (Θα κοιτάξω για στοιχειωδέστερη λύση).

#3

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε:ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Δίδεται τετράπλευρο μὲ μήκη πλευρῶν , τὸ ὁποῖο εἶναι περιγράψιμο, δηλαδή, ὑπάρχει κύκλος ἐντὸς αὐτοῦ, ὁ ὁποῖος ἐφάπτεται καὶ μὲ τὶς τέσσερίς του πλευρές. Ἂν τὸ ἐμβαδόν του ἰσοῦται μὲ $\sqrt{abcd}$ , δείξατε ὅτι τὸ τετράπλευρο αὐτὸ εἶναι ἐγγράψιμο.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Προκύπτει ἄμεσα ἀπὸ τὸν τὺπο τοῦ Bretschneider. Ὑπάρχει στοιχειωδέστερος τρόπος;

: Αμφιγράψιμο.β.png (17.78 KiB) Προβλήθηκε 1360 φορές

● Νόμος συνημιτόνων:
$\displaystyle{{a^2} + {b^2} - 2ab\cos B = A{C^2} = {c^2} + {d^2} - 2cd\cos D \Leftrightarrow }$ $\boxed{{a^2} + {b^2} - {c^2} - {d^2} = 2(ab\cos B - cd\cos D)}$ (1)

● $\displaystyle{a + c = b + d \Leftrightarrow a - b = d - c \Rightarrow }$ $\boxed{{a^2} + {b^2} - {c^2} - {d^2} = 2(ab - cd)}$ (2)

● $\displaystyle{(ABCD) = \frac{1}{2}\left( {ab\sin B + cd\sin D} \right) \Leftrightarrow }$ $\boxed{4abcd = {(ab\sin B + cd\sin D)^2}}$ (3)

Από

$\displaystyle{{(ab\cos B - cd\cos D)^2} = {(ab - cd)^2} \Leftrightarrow - 2abcd\cos B\cos D - {a^2}{b^2}{\sin ^2}B - {c^2}{d^2}{\sin ^2}D = - 2abcd}$

$\displaystyle{2abcd(1 - \cos B\cos D) = {(ab\sin B + cd\sin D)^2} - 2abcd\sin B\sin D\mathop \Leftrightarrow \limits^{(3)} }$

$\displaystyle{2abcd(1 - \cos B\cos D + \sin B\sin D) = 4abcd \Leftrightarrow \cos (B + D) = - 1 \Leftrightarrow }$ $\boxed{B+D=\pi}$ και το ζητούμενο έπεται.

Περιγράψιμο καὶ ταυτοχρόνως ἐγγράψιμο τετράπλευρο

Περιγράψιμο καὶ ταυτοχρόνως ἐγγράψιμο τετράπλευρο

Re: Περιγράψιμο καὶ ταυτοχρόνως ἐγγράψιμο τετράπλευρο

Re: Περιγράψιμο καὶ ταυτοχρόνως ἐγγράψιμο τετράπλευρο

Μέλη σε σύνδεση