mathematica.gr

Ο καλός φίλος και συνάδελφος από το Ηράκλειο Δημήτρης Μπουνάκης με αφορμή το θέμα εδώ, μου έστειλε σε email την παρακάτω γενίκευση του θεωρήματος του Στάθη Κούτρα την οποία μου είπε να σας κοινοποιήσω. Τη δική του προσέγγιση θα την δώσω αργότερα ώστε να την χαρούν οι φίλοι της Γεωμετρίας.

Έστω γωνία και ευθεία που τέμνει τις πλευρές της (ή τις προεκτάσεις των) ( επί των αντίστοιχα). Από ένα σημείο εντός της γωνίας θεωρούμε τις ευθείες ώστε η γωνία να είναι παραπληρωματική της και από ένα άλλο σημείο της γωνίας θεωρούμε τις ευθείες παράλληλες στις αντιστοίχως ( σημείο της μεταξύ των ). Αν η ευθεία τέμνει την στο και είναι προς το ίδιο μέρος της ευθείας , τότε ισχύει η ισοδυναμία:
Αν τα σημεία είναι εκατέρωθεν της ευθείας , τότε στην ισοδυναμία αυτή, η ισότητα των γωνιών αντικαθίσταται με το ότι αυτές είναι παραπληρωματικές.

Βάζω ένα σχήμα , στο οποίο φαίνεται η ισότητα των , .

Ουσιαστικά θέλουμε το το , να είναι εγγράψιμο .

Τόσο το θεώρημα του Στάθη Κούτρα, όσο και η γενίκευση από τον κ. Δημήτρη Μπουνάκη (τεράστια κατά την προσωπική μου άποψη η προσφορά του στα Μαθηματικά δρώμενα και μέσω συγγραφής εκπληκτικών βιβλίων επιπέδου) επίσης αποδεικνύονται άμεσα από το λήμμα που απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα και τούτο διότι η παράλληλη μεταφορά σχήματος δεν το αλλοιώνει, και η μεταφορά σχήματος μέσω ομοιότητας δεν αλλοιώνει τον λόγο μεταξύ των στοιχείων του.

Λήμμα:
Δίνεται το εγγεγραμμένο τετράπλευρο . Η ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε είναι

Απόδειξη:
Πράγματι αν τότε από την δύναμη του ως προς τον κύκλο παίρνουμε
και από την ομοιότητα των τριγώνων έχουμε
Από τις σχέσεις προκύπτει
Το αντίστροφο είναι πολύ απλό.

Παρατήρηση: Η σχέση δηλώνει ισοδύναμα ότι η είναι εφαπτομένη του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο

(*) Προφανώς ισχύει η ισοδυναμία Ο λόγος μεταφέρεται στις ομόλογες πλευρές κάθε τριγώνου όμοιου προς το τρίγωνο

(**) Απλά το "οδοιπορικό" από το Θεώρημα του Στάθη Κούτρα στη πρόταση του κ. Δημήτρη Μπουνάκη μου θύμισε την αντίστοιχη πορεία από την ευθεία του Simson στην ευθεία του Wallace.