mathematica.gr

Έστω εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου και έστω το σημείο τομής των διαγωνίων του. Η κάθετη στο στην τέμνει το στο εσωτερικό του στο . Οι και τέμνονται στο . Αν ισχύει , να υπολογίσετε τη γωνία .

Έστω το σημείο και σύμφωνα με το ( γνωστό ως ) Θεώρημα της πεταλούδας , έχουμε ότι και άρα, το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με , λόγω και .

Από τώρα από το ισοσκελές τρίγωνο και τα εγγράψιμα τετράπλευρα , συμπεραίνεται ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και επομένως ισχύει και το ζητούμενο έχει υπολογιστεί.

Κώστας Βήττας.

Πολύ ωραία! Μπορεί στην εκφώνηση να παραλειφτεί το σημείο C κάνοντας έτσι την πεταλούδα πιο κρυφή και φυσικά την άσκηση πιο δύσκολη. Επίσης μετά την πεταλούδα τελειώνει αμέσως και με το αντίστροφο του θεωρήματος Pascal!

Κώστα, χαίρομαι κάθε φορά που σε βλέπω στο φόρουμ.

Πράγματι, το κριτήριο τη πεταλούδας μπορεί να γίνει πιο κρυφό. Εάν το πρόβλημα είχε δοθεί με την παρακάτω εκφώνηση, δεν ξέρω αν το μυαλό μου θα πήγαινε ( το ίδιο εύκολα ) στο Θεώρημα της πεταλούδας. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο με και έστω , το σημείο τομής της ευθείας από την δια του σημείου κάθετη ευθεία επί την . Με κέντρο τυχόν σημείο έστω , στην προέκταση του προς το μέρος του , γράφουμε τον κύκλο έστω με ακτίνα και έστω τα σημεία και . Αποδείξτε ότι .

Κώστας Βήττας.