ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΚΛΕΙΣΟΥΜΕ...

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Βρίσκομαι στο σχολείο, λίγες ώρες πριν κλείσουμε για τις καλοκαιρινές διακοπές...
Μια ανισότητα από αυτήν την ημέρα...

Σε τρίγωνο ABC

αποδείξτε ότι

$\displaystyle \frac{bc}{b+c}sin^{2}\frac{A}{2}+\frac{ca}{c+a}sin^{2}\frac{B}{2}+\frac{ab}{a+b}sin^{2}\frac{C}{2}\leq s\left ( \frac{s\sqrt{3}}{4r}-2 \right )$

#2

Ας αποδείξουμε την ισχυρότερη

$\displaystyle \frac{bc}{b+c}sin^{2}\frac{A}{2}+\frac{ca}{c+a}sin^{2}\frac{B}{2}+\frac{ab}{a+b}sin^{2}\frac{C}{2}\leq \frac{s}{4}.$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

Θα γράψω την απόδειξη της ανισότητας που πρότεινα.

Θα χρησιμοποιήσω έναν τύπο της παλιάς Τριγωνομετρίας, τον $\displaystyle sin^{2}\frac{A}{2}=\frac{\left ( s-b \right )\left ( s-c \right )}{bc}$

Έτσι λοιπόν μπορεί να γραφεί ότι

$\displaystyle \frac{bc}{b+c}sin^{2}\frac{A}{2}=\frac{bc}{b+c}\frac{\left ( s-b \right )\left ( s-c \right )}{bc}=\frac{\left ( s-b \right )\left ( s-c \right )}{b+c}=$

$\displaystyle \frac{s^{2}-\left ( b+c \right )s+bc}{b+c}=\frac{s^{2}}{b+c}-s+\frac{bc}{b+c}$

Συνεπώς ισχύει ότι

$\displaystyle \frac{bc}{b+c}sin^{2}\frac{A}{2}+\frac{ca}{c+a}sin^{2}\frac{B}{2}+\frac{ab}{a+b}sin^{2}\frac{C}{2}=$

$\displaystyle s^{2}\left ( \frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b} \right )-3s+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}+\frac{ab}{a+b}$

Aπό την παρακάτω δημοσίευση viewtopic.php?f=185&t=71852 ισχύει ότι

$\displaystyle{\displaystyle\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\leq \frac{\sqrt{3}}{4r}}$

Θα αποδειχθεί ότι

$\displaystyle\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}+\frac{ab}{a+b}\leq s$

Iσχύει ότι $\displaystyle\left ( b+c \right )^{2}\geq 4bc\Leftrightarrow \frac{bc}{b+c}\leq \frac{b+c}{4}$ και

$\displaystyle\left ( c+a \right )^{2}\geq 4ca\Leftrightarrow \frac{ca}{c+a}\leq \frac{c+a}{4}$

$\displaystyle\left ( a+b \right )^{2}\geq 4ab\Leftrightarrow \frac{ab}{a+b}\leq \frac{a+b}{4}$

Προσθέτοντας τις τρεις τελευταίες ανισότητες κατά μέλη καταλήγουμε

$\displaystyle\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}+\frac{ab}{a+b}\leq \frac{b+c+a}{2}$

δηλαδή $\displaystyle\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}+\frac{ab}{a+b}\leq s$

Άρα λοιπόν

$\displaystyle \frac{bc}{b+c}sin^{2}\frac{A}{2}+\frac{ca}{c+a}sin^{2}\frac{B}{2}+\frac{ab}{a+b}sin^{2}\frac{C}{2}\leq s^{2}\frac{\sqrt{3}}{4r}-3s+s=s\left ( \frac{s\sqrt{3}}{4r} -2\right )$

ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΚΛΕΙΣΟΥΜΕ...

ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΚΛΕΙΣΟΥΜΕ...

Re: ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΚΛΕΙΣΟΥΜΕ...

Re: ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΚΛΕΙΣΟΥΜΕ...

Μέλη σε σύνδεση