Περίμετρος και εμβαδόν

KARKAR · #1

: Περίμετρος και εμβαδόν.png (62.98 KiB) Προβλήθηκε 479 φορές

Στο τρίγωνο της εικόνας είναι : AB=AC=10 , BC=12

. Ονομάζω

τις προβολές σημείου

της

, στις πλευρές AB , AC

αντίστοιχα . α) Βρείτε την περίμετρο του τετραπλεύρου APST

.

β) Βρείτε την θέση του

για την οποία το εμβαδόν του APST

ισούται (αριθμητικά) με την περίμετρό του .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 26, 2025 8:21 am
Περίμετρος και εμβαδόν.png Στο τρίγωνο της εικόνας είναι : . Ονομάζω τις προβολές σημείου

της , στις πλευρές αντίστοιχα . α) Βρείτε την περίμετρο του τετραπλεύρου .

β) Βρείτε την θέση του για την οποία το εμβαδόν του ισούται (αριθμητικά) με την περίμετρό του .

Θα το δούμε γενικότερα, για όλα τα ισοσκελή τρίγωνα. Ακόμα καλύτερα αποδεικνύεται ότι τα αθροίσματα SP+ST, AP+AT

είναι και τα δύο σταθερά. Πρόκειται για πάρα πολλή κοινή άσκηση η οποία υπάρχει σε όλες τις Γεωμετρίες.

Φέρνουμε το ύψος

. Είναι

σταθερό (το ύψος).

Και AP+AT=AK+KP+AT=AK+SL+AT=AK+TC+AT=AK+AC=

σταθερό (η πλευρά και η προβολή της μίας πλευράς στην άλλη).

Εδώ οι σταθερές είναι, η μεν πρώτη 9,6

(από Πυθαγόρειο το ύψος προς την βάση είναι

από όπου απλά το άλλο είναι 96/10

). Η άλλη σταθερά (άμεσο) είναι 10+2,8=12,8

. Η ζητούμενη περίμετρος είναι το άθροισμά τους 22,4

.

Το δεύτερο μέρος το αφήνω ως άμεσο αλλά με πράξεις. 'Ισως επανέλθω.
,

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 26, 2025 8:21 am
Περίμετρος και εμβαδόν.png Στο τρίγωνο της εικόνας είναι : . Ονομάζω τις προβολές σημείου

της , στις πλευρές αντίστοιχα . α) Βρείτε την περίμετρο του τετραπλεύρου .

β) Βρείτε την θέση του για την οποία το εμβαδόν του ισούται (αριθμητικά) με την περίμετρό του .

Θέτω

και

την περίμετρο. Εύκολα βρίσκω ότι (ABC)=48

και

οπότε $\sin B = \sin C = \dfrac{4}{5} ,$ άρα $SP = \dfrac{4}{5}(12 - x),ST = \dfrac{4}{5}x$ και $BP = \dfrac{3}{5}(12 - x),CT = \dfrac{3}{5}x.$

: Περίμετρος και εμβαδόν.png (12.15 KiB) Προβλήθηκε 447 φορές

α) $\displaystyle AP + AT + SP + ST = 20 - (BP + CT) + SP + ST = 20 - \frac{{36}}{5} + \frac{{48}}{5} \Leftrightarrow$ $\boxed{p=\frac{112}{5}}$

β) $\displaystyle (BPS) + (CTS) = (ABC) - (APST) \Leftrightarrow \frac{{12}}{{25}}{(12 - x)^2} + \frac{{12}}{{25}}{x^2} = 48 - \frac{{112}}{5},$

απ' όπου καταλήγω στην εξίσωση $\displaystyle 3{x^2} - 36x + 56 = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{x = \frac{{18 \pm 2\sqrt {39} }}{3}}$ (και οι δύο ρίζες δεκτές).

Περίμετρος και εμβαδόν

Περίμετρος και εμβαδόν

Re: Περίμετρος και εμβαδόν

Re: Περίμετρος και εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση