mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 02, 2024 1:09 pm**

: Ορθογώνιο σε ορθογώνιο.png (48.15 KiB) Προβλήθηκε 525 φορές

Το

είναι το μέσο της μιας κάθετης πλευράς του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου ABC

.

Βρείτε το ελάχιστο εμβαδόν του επίσης ορθογωνίου τριγώνου $PMS , ( P \in AC , S \in BC )$ .

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 02, 2024 2:01 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 02, 2024 1:09 pm
Ορθογώνιο σε ορθογώνιο.pngΤο είναι το μέσο της μιας κάθετης πλευράς του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου .

Βρείτε το ελάχιστο εμβαδόν του επίσης ορθογωνίου τριγώνου $PMS , ( P \in AC , S \in BC )$ .

Θέτω

Με νόμο συνημιτόνου στο BMS

έχω $\boxed{M{S^2} = {b^2} + {x^2} - bx\sqrt 2 }$ και με

νόμο ημιτόνων στο ίδιο τρίγωνο $\displaystyle \frac{{MS}}{{\sin 45^\circ }} = \frac{x}{{\sin \theta }} \Leftrightarrow MS\sqrt 2 = \frac{{xMP}}{b} \Leftrightarrow 2M{S^2} = \frac{{MP \cdot MS}}{b}x\sqrt 2$

: Ορθογώνιο σε ορθογώνιο.ΚΑ.png (14.34 KiB) Προβλήθηκε 519 φορές

Άρα, $\displaystyle 2b({b^2} + {x^2} - bx\sqrt 2 ) = 2x\sqrt 2 (PMS) \Leftrightarrow (PMS) = \frac{{b({b^2} + {x^2} - bx\sqrt 2 )}}{{x\sqrt 2 }},$

όπου με τη βοήθεια παραγώγων βρίσκω $\boxed{ {(PMS)_{\min }} = (\sqrt 2 - 1){b^2}}$ όταν $\boxed{x=b}$

mathematica.gr

Ορθογώνιο σε ορθογώνιο

Ορθογώνιο σε ορθογώνιο

Re: Ορθογώνιο σε ορθογώνιο